2025-01-01 03:31:35
Как определить угол между прямой, соединяющей точки A(1,2,3) и B(4,5,6), и плоскостью, описанной уравнением x + y + z = 10?
Подсказка: Примените векторное произведение для вычисления нормального вектора плоскости.
Помогите, пожалуйста, срочно нужно!
Алгебра Университет Геометрия в пространстве угол между прямой и плоскостью векторное произведение нормальный вектор плоскости точки A и B уравнение плоскости алгебраические задачи геометрия в алгебре определение угла координаты точек решение задач по алгебре
2025-01-01 03:31:53
Чтобы определить угол между прямой, соединяющей точки A(1,2,3) и B(4,5,6), и плоскостью, заданной уравнением x + y + z = 10, мы можем следовать следующим шагам:
1. Найдем вектор, направляющий прямую AB:- Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
- AB = B - A = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3).
- Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. В нашем случае: x + y + z - 10 = 0.
- Следовательно, нормальный вектор N к плоскости будет равен (1, 1, 1), так как коэффициенты при x, y и z равны 1.
- Угол между вектором AB и нормальным вектором N можно найти с помощью скалярного произведения:
- cos(θ) = (AB • N) / (|AB| * |N|), где θ - угол между векторами, AB • N - скалярное произведение векторов, |AB| и |N| - их длины.
- AB • N = (3, 3, 3) • (1, 1, 1) = 3*1 + 3*1 + 3*1 = 9.
- Длина вектора AB: |AB| = √(3^2 + 3^2 + 3^2) = √(27) = 3√3.
- Длина нормального вектора N: |N| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3.
- cos(θ) = 9 / (3√3 * √3) = 9 / 9 = 1.
- Это означает, что θ = 0 градусов, что указывает на то, что вектор AB параллелен нормальному вектору плоскости.
- Угол между прямой и плоскостью равен 90 градусов минус угол между вектором AB и нормальным вектором N:
- Угол между прямой и плоскостью = 90 - θ = 90 - 0 = 90 градусов.
Таким образом, угол между прямой, соединяющей точки A и B, и плоскостью, заданной уравнением x + y + z = 10, равен 90 градусам.