Чтобы перейти к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле, необходимо понимать, как осуществляется преобразование координат и как задаются пределы интегрирования для каждой области Ω.

1. Переход к цилиндрическим координатам:

• Цилиндрические координаты (r, θ, z) связаны с декартовыми координатами (x, y, z) следующим образом:
  • x = r * cos(θ)
  • y = r * sin(θ)
  • z = z
• Объемный элемент в цилиндрических координатах: dV = r * dr * dθ * dz.
• При переходе к цилиндрическим координатам необходимо определить, какие значения принимают r, θ и z для заданной области Ω.

2. Переход к сферическим координатам:

• Сферические координаты (ρ, θ, φ) связаны с декартовыми координатами (x, y, z) следующим образом:
  • x = ρ * sin(φ) * cos(θ)
  • y = ρ * sin(φ) * sin(θ)
  • z = ρ * cos(φ)
• Объемный элемент в сферических координатах: dV = ρ² * sin(φ) * dρ * dθ * dφ.
• Как и в цилиндрических координатах, необходимо определить пределы интегрирования для ρ, θ и φ в зависимости от области Ω.

3. Расстановка пределов интегрирования:

• Для каждой области Ω нужно проанализировать ее границы и определить, как они выражаются в новых координатах.
• При переходе к цилиндрическим координатам:
  • r будет изменяться от 0 до максимального значения, которое определяет границу области в радиальном направлении.
  • θ будет изменяться от начального угла до конечного угла, который описывает полный или частичный круг.
  • z будет изменяться от нижней границы до верхней границы, которые могут быть заданы функциями или константами.
• При переходе к сферическим координатам:
  • ρ будет изменяться от 0 до максимального значения, которое определяет радиус сферы.
  • θ будет изменяться от 0 до 2π, если область охватывает полный круг.
  • φ будет изменяться от 0 до значения, которое определяет угол от вертикали до границы области.

В заключение, чтобы правильно перейти к цилиндрическим или сферическим координатам и расставить пределы интегрирования, нужно внимательно проанализировать геометрию области Ω и использовать соответствующие преобразования для координат. Это позволит правильно вычислить тройные интегралы в новых координатах.