Для вычисления интеграла I = ∫_{0}^{+\infty} x^{\pi} e^{-x} dx мы можем использовать свойство гамма-функции. Гамма-функция определяется следующим образом:

Гамма-функция: Γ(n) = ∫_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} dx для n > 0.

В нашем случае мы можем заметить, что если n = π + 1, то:

I = ∫_{0}^{+\infty} x^{\pi} e^{-x} dx = Γ(π + 1).

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем вычислить этот интеграл, используя интегрирование по частям.

Шаги решения:

1. Выбор функций для интегрирования по частям: Пусть u = x^{\pi}, тогда du = π x^{\pi - 1} dx. Выберем dv = e^{-x} dx, тогда v = -e^{-x}.
2. Применение формулы интегрирования по частям: Используем формулу ∫ u dv = uv - ∫ v du:

Тогда:

I = -x^{\pi} e^{-x} |_{0}^{+\infty} + ∫_{0}^{+\infty} e^{-x} π x^{\pi - 1} dx.
3. Оценка предела: При x → +∞, -x^{\pi} e^{-x} → 0, а при x = 0, -0^{\pi} e^{-0} = 0. Таким образом, первый член равен 0.
4. Получаем новый интеграл: Теперь у нас остается:
I = π ∫_{0}^{+\infty} x^{\pi - 1} e^{-x} dx.
5. Применяем рекурсивно: Заметим, что ∫_{0}^{+\infty} x^{\pi - 1} e^{-x} dx = I_{π - 1}. Таким образом, мы можем записать:
I = π I_{π - 1}.

Теперь, если мы продолжим этот процесс, мы можем выразить I через I_{0}:

1. Рекурсия: I_{π} = π I_{π - 1} = π(π - 1) I_{π - 2} = ... = π(π - 1)(π - 2)...(1) I_{0}.
2. Значение I_{0}: Мы знаем, что I_{0} = ∫_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = 1.

Таким образом, мы можем завершить вычисление:

I = π(π - 1)(π - 2)...(1) = Γ(π + 1).

В итоге, интеграл ∫_{0}^{+\infty} x^{\pi} e^{-x} dx равен Γ(π + 1).