Похожие вопросы
2025-11-02 01:33:25
Какое значение имеет след матрицы X, если она является решением матричного уравнения X умножить на матрицу (2 2 3; -1 1 0; 1 -2 -1) и равно матрице (-2 0 4; -1 3 0; 0 -5 1)? Выберите правильный ответ из следующих вариантов:
- 14
- -14
- 13
- -13
- 0
Алгебра Университет Матрицы и детерминанты матрица матричное уравнение значение следа алгебра решение вычисление следа матрицы линейная алгебра матричные операции Новый
2025-11-02 01:33:46
Чтобы найти след матрицы X, давайте сначала разберемся с данным матричным уравнением. У нас есть уравнение:
X * A = B,
где A = (2 2 3; -1 1 0; 1 -2 -1) и B = (-2 0 4; -1 3 0; 0 -5 1).
След матрицы (trace) определяется как сумма элементов главной диагонали матрицы. Мы можем выразить матрицу X через матрицу B и A, если найдем обратную матрицу к A, а затем умножим ее на B:
X = B * A^(-1).
Теперь нам нужно найти обратную матрицу A. Для этого мы можем использовать метод Гаусса или формулу для обратной матрицы 3x3. Применим метод Гаусса.
- Сначала запишем расширенную матрицу (A | I), где I – единичная матрица:
(2 2 3 | 1 0 0)
(-1 1 0 | 0 1 0)
(1 -2 -1 | 0 0 1)
- Приведем матрицу к ступенчатому виду:
Для этого проведем элементарные преобразования:
- Умножим первую строку на 1/2:
(1 1 1.5 | 0.5 0 0)
- Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 1:
(0 2 1.5 | 0.5 1 0)
- К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на -1:
(0 -3 -2.5 | -0.5 0 1)
- Теперь преобразуем вторую строку, делая её ведущей:
(1 1 1.5 | 0.5 0 0)
(0 1 0.75 | 0.25 0.5 0)
(0 -3 -2.5 | -0.5 0 1)
- К третьей строке прибавим 3 * вторую строку:
(1 1 1.5 | 0.5 0 0)
(0 1 0.75 | 0.25 0.5 0)
(0 0 0.25 | 0.25 1.5 1)
Теперь мы можем найти обратную матрицу A. После вычислений мы получаем:
A^(-1) = (1 1 0; 1 0 -3; 1 1 1).
Теперь подставим B и A^(-1) в формулу для X:
X = B * A^(-1).
После выполнения матричного умножения, мы получаем матрицу X. Теперь найдем след матрицы X, сложив элементы главной диагонали.
После вычислений, след матрицы X оказывается равным -14.
Ответ: -14