2025-08-26 00:10:40
Каков общий вид первообразной функции для f(x) = 1 - 1/cos^2(3x)?
Выберите один из вариантов:
- A) x + (1/3) ctg x + C
- B) x - (1/3) tg x + C
- C) x - (1/3) tg(3x) + C
- D) tg(3x) + C
Если f(x) = x^3, какова первообразная функция, проходящая через точку (2; 1)?
Выберите один из вариантов:
- A) x^2/2 - 1
- B) x^4/4 - 3
- C) x^2/2 + 1
- D) x^4/2 + 3
Для функции F(x) = 2cos x + sin x + C, какая из перечисленных функций является её первообразной?
Выберите один из вариантов:
- A) f(x) = -2sin x - cos x
- B) f(x) = 2sin x + cos x
- C) f(x) = -2sin x + cos x
- D) f(x) = 2sin x - cos x
Алгебра Университет Интегрирование и первообразные функции алгебра первообразная функция f(x) = 1 - 1/cos^2(3x) интегрирование функции математика алгебраические выражения задачи по алгебре решение уравнений функции F(x) = 2cos x + sin x нахождение первообразной подготовка к экзаменам учебные материалы математические задачи выбор правильного ответа Новый
2025-08-26 06:00:43
Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.
1. Найдем общий вид первообразной функции для f(x) = 1 - 1/cos^2(3x).
Сначала упростим функцию f(x):
- f(x) = 1 - 1/cos^2(3x) = 1 - sec^2(3x).
Теперь мы знаем, что производная функции tg(u) равна sec^2(u) * du, где u = 3x. Таким образом, первообразная для sec^2(3x) будет:
- ∫sec^2(3x) dx = (1/3) tg(3x) + C.
Теперь найдем первообразную для f(x):
- ∫f(x) dx = ∫(1 - sec^2(3x)) dx = ∫1 dx - ∫sec^2(3x) dx.
- ∫1 dx = x.
- Таким образом, ∫f(x) dx = x - (1/3) tg(3x) + C.
Следовательно, правильный ответ - C) x - (1/3) tg(3x) + C.
2. Найдем первообразную функцию для f(x) = x^3, проходящую через точку (2; 1).
Сначала найдем первообразную для функции f(x) = x^3:
- ∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C.
Теперь, чтобы найти конкретную первообразную, которая проходит через точку (2; 1), подставим x = 2 и f(x) = 1 в уравнение:
- 1 = (1/4)(2^4) + C.
- 1 = (1/4)(16) + C.
- 1 = 4 + C.
- Таким образом, C = 1 - 4 = -3.
Теперь мы можем записать первообразную:
- F(x) = (1/4)x^4 - 3.
Следовательно, правильный ответ - B) x^4/4 - 3.
3. Найдем первообразную для функции F(x) = 2cos x + sin x + C.
Теперь мы можем определить производные для предложенных вариантов и посмотреть, какая из них дает F(x):
- A) f(x) = -2sin x - cos x: f'(x) = -2cos x + sin x (не совпадает).
- B) f(x) = 2sin x + cos x: f'(x) = 2cos x - sin x (не совпадает).
- C) f(x) = -2sin x + cos x: f'(x) = -2cos x - sin x (не совпадает).
- D) f(x) = 2sin x - cos x: f'(x) = 2cos x + sin x (совпадает).
Таким образом, правильный ответ - D) f(x) = 2sin x - cos x.
