Для того чтобы решить интеграл ∫ (x * cos(x) + sin(x)) / (x * sin(x))^2 dx, мы можем воспользоваться методом разложения на простейшие дроби и интегрирования по частям. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Упрощение интеграла: Мы можем переписать интеграл в более удобной форме. Обратите внимание на дробь:
• Итак, мы имеем: (x * cos(x) + sin(x)) / (x * sin(x))^2.
• Мы можем разделить числитель на знаменатель: (x * cos(x)) / (x * sin(x))^2 + (sin(x)) / (x * sin(x))^2.
• Это даёт нам: cos(x) / (sin(x))^2 + 1 / (x * sin(x)).
2. Разделение интеграла: Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:
• ∫ (cos(x) / (sin(x))^2) dx + ∫ (1 / (x * sin(x))) dx.
3. Решение первого интеграла: Для первого интеграла мы можем использовать замену переменной:
• Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x) dx.
• Интеграл становится: ∫ (1 / u^2) du, что равняется -1/u + C = -1/sin(x) + C.
4. Решение второго интеграла: Для второго интеграла ∫ (1 / (x * sin(x))) dx может потребоваться специальный метод, такой как интегрирование по частям или использование таблиц интегралов.
• Однако, для упрощения, мы можем оставить его в неразрешённом виде или использовать численные методы для нахождения его значения, если это необходимо.

Таким образом, окончательный результат для интеграла будет включать первый интеграл и оставшуюся часть второго интеграла, который может быть оценён численно или оставлен в символической форме:

∫ (x * cos(x) + sin(x)) / (x * sin(x))^2 dx = -1/sin(x) + ∫ (1 / (x * sin(x))) dx + C

Где C - произвольная константа интегрирования.