Для вычисления двойного интеграла по криволинейной области D, давайте сначала определим саму область интегрирования. Область D задается двумя уравнениями:

• Первое уравнение: x² + y² = 4. Это уравнение описывает круг радиуса 2 с центром в начале координат.
• Второе уравнение: x + y - 2 = 0. Это уравнение описывает прямую, которая проходит через точки (2, 0) и (0, 2).

Теперь давайте найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим y из уравнения прямой в уравнение круга:

1. Из уравнения прямой выразим y: y = 2 - x.
2. Подставим это значение в уравнение круга:
3. x² + (2 - x)² = 4.
4. Раскроем скобки:
5. x² + (4 - 4x + x²) = 4.
6. Соберем все члены в одну сторону:
7. 2x² - 4x + 4 - 4 = 0, что упрощается до 2x² - 4x = 0.
8. Факторизуем: 2x(x - 2) = 0.
9. Таким образом, x = 0 или x = 2.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:

• Для x = 0: y = 2 - 0 = 2.
• Для x = 2: y = 2 - 2 = 0.

Таким образом, точки пересечения: (0, 2) и (2, 0).

Теперь мы можем описать область D. Это сегмент круга, ограниченный прямой, который соединяет точки (0, 2) и (2, 0).

Для вычисления интеграла мы можем использовать полярные координаты, где x = r * cos(θ) и y = r * sin(θ). В этом случае уравнение круга становится r² = 4, то есть r = 2. Также уравнение прямой в полярных координатах будет: r * cos(θ) + r * sin(θ) = 2, что упрощается до r(cos(θ) + sin(θ)) = 2.

Таким образом, r = 2 / (cos(θ) + sin(θ)). Теперь определим пределы интегрирования:

• r будет меняться от 0 до 2 / (cos(θ) + sin(θ)).
• θ будет меняться от π/4 до π/2 (углы, соответствующие точкам (0, 2) и (2, 0)).

Теперь мы можем записать двойной интеграл:

∬D y x² d x d y = ∫(θ=π/4 to π/2) ∫(r=0 to 2/(cos(θ) + sin(θ))) (r * sin(θ)) (r² * cos²(θ)) r dr dθ.

Где r dr dθ - это якобиан перехода к полярным координатам.

Теперь вычислим интеграл:

• Внутренний интеграл: ∫(r=0 to 2/(cos(θ) + sin(θ))) (r³ * sin(θ) * cos²(θ)) dr.
• Вычисляем: (1/4) * (2/(cos(θ) + sin(θ)))^4 * sin(θ) * cos²(θ).
• Теперь подставляем пределы интегрирования и вычисляем внешний интеграл.

В результате мы получим значение двойного интеграла по заданной области D.