2025-08-25 22:04:11
Вычислите определённый интеграл:
∫₁^e (1 + lgx) / x dx
Какой из следующих вариантов является правильным ответом?
- A) 2 / ln 100 + 1
- B) 1/2 ln 10 + 1
- C) 1 / (2 ln 10) + 1
- D) 1 / ln 10 + 1
Алгебра Университет Определённые интегралы определенный интеграл вычисление интеграла интеграл от логарифма алгебра задачи по алгебре интегралы математический анализ подготовка к экзаменам высшая математика Новый
2025-08-26 05:57:09
Чтобы вычислить определённый интеграл ∫₁^e (1 + lgx) / x dx, начнем с разбиения интеграла на две части:
- ∫₁^e (1 / x) dx + ∫₁^e (lgx / x) dx
Теперь вычислим каждую часть отдельно.
1. Вычисление первого интеграла:Интеграл ∫ (1 / x) dx равен ln|x| + C. Подставляем пределы интегрирования от 1 до e:
- ∫₁^e (1 / x) dx = ln|e| - ln|1| = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.
Для интеграла ∫ (lgx / x) dx мы используем замену переменной. Напомним, что lgx = log10(x), и мы можем выразить его через натуральный логарифм:
- lgx = ln(x) / ln(10).
Таким образом, мы можем переписать второй интеграл:
- ∫₁^e (lgx / x) dx = ∫₁^e (ln(x) / (x * ln(10))) dx = (1 / ln(10)) ∫₁^e (ln(x) / x) dx.
Интеграл ∫ (ln(x) / x) dx равен (ln(x))^2 / 2 + C. Подставляем пределы интегрирования от 1 до e:
- ∫₁^e (ln(x) / x) dx = [(ln(e))^2 / 2] - [(ln(1))^2 / 2] = (1^2 / 2) - (0^2 / 2) = 1/2 - 0 = 1/2.
Теперь подставим это значение обратно в интеграл:
- ∫₁^e (lgx / x) dx = (1 / ln(10)) * (1/2) = 1 / (2 ln(10)).
Теперь мы можем сложить оба интеграла:
- ∫₁^e (1 + lgx) / x dx = 1 + 1 / (2 ln(10)).
Таким образом, окончательный ответ:
- 1 + 1 / (2 ln(10)).
Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами:
- A) 2 / ln 100 + 1
- B) 1/2 ln 10 + 1
- C) 1 / (2 ln 10) + 1
- D) 1 / ln 10 + 1
Мы видим, что правильный ответ - это:
C) 1 / (2 ln 10) + 1.