1. Докажем, что множество A является выпуклым.

Выпуклость множества определяется следующим образом: множество называется выпуклым, если для любых двух точек, принадлежащих этому множеству, вся отрезок, соединяющий эти две точки, также принадлежит этому множеству.

Рассмотрим множество A = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1}. Это множество представляет собой круг радиуса 1, центрированный в начале координат (0, 0).

Пусть (x1, y1) и (x2, y2) - любые две точки из множества A. Это означает, что:

• x1² + y1² ≤ 1
• x2² + y2² ≤ 1

Теперь рассмотрим точку, лежащую на отрезке, соединяющем (x1, y1) и (x2, y2). Эта точка может быть представлена как:

(x, y) = (1-t)(x1, y1) + t(x2, y2), где t ∈ [0, 1].

Подставим x и y в неравенство для A:

x = (1-t)x1 + tx2 и y = (1-t)y1 + ty2.

Теперь вычислим x² + y²:

x² + y² = ((1-t)x1 + tx2)² + ((1-t)y1 + ty2)².

Согласно неравенству Коши-Буняковского, мы можем утверждать, что:

x² + y² ≤ (1-t)(x1² + y1²) + t(x2² + y2²).

Так как x1² + y1² ≤ 1 и x2² + y2² ≤ 1, то:

(1-t)(x1² + y1²) + t(x2² + y2²) ≤ (1-t) + t = 1.

Таким образом, x² + y² ≤ 1, что означает, что точка (x, y) принадлежит множеству A. Следовательно, множество A является выпуклым.

2. Является ли множество B выпуклым? Обоснуйте свой ответ.

Теперь рассмотрим множество B = {(x, y) ∈ R² : y ≥ 0}. Это множество представляет собой верхнюю полуплоскость, включая ось абсцисс.

Для проверки выпуклости этого множества, опять возьмем любые две точки (x1, y1) и (x2, y2), принадлежащие множеству B. Это означает, что:

• y1 ≥ 0
• y2 ≥ 0

Рассмотрим точку на отрезке, соединяющем эти две точки:

(x, y) = (1-t)(x1, y1) + t(x2, y2), где t ∈ [0, 1].

Тогда y = (1-t)y1 + ty2. Поскольку y1 и y2 неотрицательны (y1 ≥ 0 и y2 ≥ 0), то линейная комбинация (1-t)y1 + ty2 также будет неотрицательной:

y ≥ 0.

Таким образом, точка (x, y) принадлежит множеству B для любого t ∈ [0, 1]. Это означает, что отрезок, соединяющий любые две точки из B, также принадлежит B, что доказывает, что множество B является выпуклым.

Вывод: Множество A является выпуклым, и множество B также является выпуклым.