Давайте разберем ваши предложения и подберем правильные предлоги для каждого из них.

1. The old woman says her husband retired ... sixty-five.
   Здесь нам нужен предлог "at", так как мы говорим о возрасте, когда что-то произошло. Правильный вариант: "at sixty-five".
2. I wonder which hotel your friend is staying ... . Why hasn’t he written to tell you?
   В этом случае нам нужен предлог "at", так как мы говорим о месте, где находится друг. Правильный вариант: "at".
3. ... my first visit ... Leningrad I spent three hours sightseeing every afternoon.
   В первом пропуске мы используем предлог "during", так как мы говорим о времени. Во втором пропуске нужен предлог "to", так как мы говорим о направлении. Правильный вариант: "During my first visit to Leningrad".
4. “Which street does he live ...?” “He lives ... Green Street. It’s a long way ... here."
   В первом пропуске нужен предлог "on", так как мы говорим о том, на какой улице он живет. Во втором - "on", так как мы также говорим о названии улицы. В третьем пропуске нужен предлог "from", так как мы говорим о расстоянии. Правильный вариант: "on", "on", "from".
5. I met ... a friend ... the way ... the factory yesterday.
   В первом пропуске нужен предлог "with", так как мы говорим о том, с кем мы встретились. Во втором - "on", так как мы говорим о пути. В третьем - "to", так как мы говорим о направлении. Правильный вариант: "with a friend on the way to the factory".
6. He told me that he had got a new flat ... a new district ... the suburbs.
   Здесь нам нужны предлоги "in" и "in", так как мы говорим о местоположении. Правильный вариант: "in a new district in the suburbs".
7. ... a holiday there are always a lot ... people ... the streets and squares.
   В первом пропуске нужен предлог "On", так как мы говорим о времени. Во втором - "of", так как мы говорим о количестве людей. В третьем - "in", так как мы говорим о местоположении. Правильный вариант: "On a holiday there are always a lot of people in the streets and squares".
8. My grandparents work ... a collective farm which is not very far ... Moscow.
   Здесь нам нужны предлоги "on" и "from". Правильный вариант: "on a collective farm which is not very far from Moscow".
9. Is your grandfather still ... hospital?
   Здесь нужен предлог "in", так как мы говорим о том, что кто-то находится в больнице. Правильный вариант: "in hospital".
10. “Did your friend have to go ... hospital?” “No, he only stayed ... home a week or two.”
    В первом пропуске нужен предлог "to", так как мы говорим о направлении. Во втором - "at", так как мы говорим о месте. Правильный вариант: "to hospital", "at home".
11. My grandfather is quite an old man, but he doesn't want to retire. He still works ... a farm.
    Здесь нужен предлог "on", так как мы говорим о работе на ферме. Правильный вариант: "on a farm".

Теперь, когда мы определили правильные предлоги, вы можете вставить их в ваши предложения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!