Давайте откроем скобки и правильно употребим инфинитив с "to" или без "to" в предложениях. Для этого нам нужно помнить о некоторых правилах использования инфинитива в английском языке.

• Инфинитив с "to" используется после определенных глаголов, таких как "want", "need", "decide", "agree" и т.д.
• Инфинитив без "to" употребляется после глаголов, таких как "make", "let", "see", "hear", "help" и некоторых других.

Теперь давайте рассмотрим каждое предложение по очереди:

1. Я заставил его извиниться за его ошибку. (I made him apologize for his mistake.) - здесь используется инфинитив без "to" после глагола "made".
2. Позволь мне помочь тебе с домашним заданием. (Let me help you with your homework.) - "let" также требует инфинитив без "to".
3. Она видела, как он ушел из дома рано утром. (She saw him leave the house early in the morning.) - после "saw" используется инфинитив без "to".
4. Тебе лучше учиться, если ты хочешь сдать экзамен. (You had better study if you want to pass the exam.) - здесь также инфинитив без "to".
5. Мы слышали, как они спорили снаружи здания. (We heard them argue outside the building.) - после "heard" используется инфинитив без "to".
6. Он заставил меня пообещать не говорить никому. (He made me promise not to tell anyone.) - "made" требует инфинитив без "to".
7. Я хочу выучить новый язык в этом году. (I want to learn a new language this year.) - "want" требует инфинитив с "to".
8. Они решили переехать в другой город. (They decided to move to another city.) - "decided" требует инфинитив с "to".
9. Она согласилась помочь с проектом. (She agreed to help with the project.) - "agreed" требует инфинитив с "to".
10. Он кажется быть очень уставшим сегодня. (He seems to be very tired today.) - "seems" требует инфинитив с "to".
11. Она была счастлива получить награду. (She was happy to receive the award.) - "happy" требует инфинитив с "to".
12. Наш учитель призвал нас участвовать в соревновании. (Our teacher urged us to participate in the competition.) - "urged" требует инфинитив с "to".

Таким образом, вот исправленные предложения с правильным использованием инфинитивов:

• Я заставил его извиниться.
• Позволь мне помочь тебе.
• Она видела, как он ушел.
• Тебе лучше учиться.
• Мы слышали, как они спорили.
• Он заставил меня пообещать.
• Я хочу выучить новый язык.
• Они решили переехать.
• Она согласилась помочь.
• Он кажется быть уставшим.
• Она была счастлива получить награду.
• Наш учитель призвал нас участвовать.