Давайте разберем каждое из предложений и выясним, верны ли оба глагола, или только один из них. Для этого важно понимать разницу между конструкциями "needn't have" и "didn't need to".

• He needn't have cooked / didn't need to cook all that food. Most of the guests didn't turn up.

  В этом случае правильна форма "didn't need to cook". Это означает, что у него не было необходимости готовить всю эту еду, так как большинство гостей не пришли. "Needn't have cooked" подразумевает, что он действительно готовил, но это было не нужно, что не совсем соответствует контексту.

• We had a full tank of petrol, so we didn't need to stop / needn't have stopped to get any.

  Здесь также правильная форма "didn't need to stop". Это указывает на то, что у нас был полный бак, и нам не нужно было останавливаться. "Needn't have stopped" подразумевает, что мы остановились, но это было не нужно, что не соответствует ситуации, так как мы не останавливались.

• The hotel provided towels, so I didn't need to take / needn't have taken any.

  В данном случае правильнее использовать "didn't need to take". Это говорит о том, что так как отель предоставил полотенца, мне не нужно было их брать. "Needn't have taken" подразумевает, что я взял полотенца, и это было не нужно, что не соответствует ситуации, если я их не брал.

• They needn't have waited / didn't need to wait long as the queue was very short.

  Здесь "needn't have waited" будет правильным. Это значит, что они ждали, но это было не нужно, так как очередь была короткой. "Didn't need to wait" также может быть верным, но не передает тот смысл, что ожидание все же произошло.

• She didn't need to pay / needn't have paid for the meal as it was free.

  В этом предложении правильнее использовать "didn't need to pay". Это говорит о том, что ей не нужно было платить за еду, так как она была бесплатной. "Needn't have paid" подразумевает, что она заплатила, но это было не нужно, что не соответствует ситуации, если она не платила.

Таким образом, в большинстве случаев правильнее использовать "didn't need to", так как это указывает на отсутствие необходимости, тогда как "needn't have" подразумевает, что действие произошло, но было лишним. В случае с последним предложением "needn't have waited" может быть приемлемым, так как ожидание произошло, но было не нужно.