Давайте разберем каждое предложение и определим, в каком времени нужно использовать глагол. Мы будем использовать три времени: Present Progressive (настоящее продолженное время), Present Perfect (настоящее совершенное время) и Simple Present (простое настоящее время).

1. Я (потерять) свой ключ и (мочь) попасть в квартиру.
   Здесь мы говорим о действии, которое произошло в прошлом и имеет последствия в настоящем. Поэтому используем Present Perfect: Я have lost свой ключ и can't попасть в квартиру.
2. Я (знать) его с детства, и мы всегда (быть) хорошими друзьями.
   Здесь мы говорим о факте, который происходит регулярно. Используем Simple Present: Я know его с детства, и мы всегда are хорошими друзьями.
3. Мой друг (учить) немецкий и сейчас он (изучать) французский.
   Здесь одно действие происходит регулярно, а другое - в данный момент. Поэтому используем: Мой друг teaches немецкий и сейчас он is studying французский.
4. Я (не смотреть) газету сегодня, так что я (не знать) новости.
   Здесь мы говорим о действии, которое не произошло в течение дня. Используем Present Perfect: Я haven't read газету сегодня, так что я don't know новости.
5. Наконец-то ты (приходить). Мы (быть) здесь уже час.
   Здесь мы говорим о действии, которое произошло в прошлом, и о результате в настоящем. Используем Present Perfect: Наконец-то ты have come. Мы have been здесь уже час.
6. Насколько я (знать), ты (делать) хорошие успехи в английском.
   Здесь мы говорим о факте, который известен. Используем Simple Present: Насколько я know, ты are making хорошие успехи в английском.
7. Он (быть) сердит на меня в последнее время.
   Здесь мы говорим о состоянии, которое продолжается. Используем Present Perfect: Он has been сердит на меня в последнее время.
8. Что (происходить) с ним?
   Здесь мы говорим о текущем состоянии. Используем Present Progressive: Что is happening с ним?
9. Мы (изучать) использование времен сейчас, и я (не освоить) это еще.
   Здесь одно действие происходит в данный момент, а другое - в прошлом. Используем: Мы are studying использование времен сейчас, и я haven't mastered это еще.
10. — Что ты (искать)? — Я (потерять) свою сумку и хочу найти ее, прежде чем (стемнеть).
    Здесь мы говорим о действии, которое происходит в данный момент, и о действии, которое произошло в прошлом. Используем: — Что ты are looking for? — Я have lost свою сумку и хочу найти ее, прежде чем it gets dark.
11. Он (путешествовать) много и (видеть) много всего в мире.
    Здесь мы говорим о регулярных действиях. Используем Simple Present: Он travels много и sees много всего в мире.
12. Он (ехать) в Африку через несколько дней.
    Здесь мы говорим о будущем действии. Используем Simple Present для расписаний: Он is going в Африку через несколько дней.
13. Он (получить) свой диплом.
    Здесь мы говорим о действии, которое произошло в прошлом и имеет значение в настоящем. Используем Present Perfect: Он has received свой диплом.
14. Он (работать) сейчас.
    Здесь мы говорим о текущем действии. Используем Present Progressive: Он is working сейчас.
15. Зимой (не быть) столько снега, сколько было раньше.
    Здесь мы говорим о факте. Используем Simple Present: Зимой isn't столько снега, сколько было раньше.
16. Я думаю, что зимы (становиться) мягче.
    Здесь мы говорим о факте, который происходит регулярно. Используем Simple Present: Я думаю, что зимы are becoming мягче.
17. — Куда (спешить) Джейн?
    Здесь мы спрашиваем о текущем действии. Используем Present Progressive: — Куда is Jane rushing?
18. У тебя (быть) вечеринка сегодня вечером?
    Здесь мы спрашиваем о факте. Используем Simple Present: У тебя is вечеринка сегодня вечером?
19. — Да, у нас (...). Но у нас (заканчиваться) майонез, и я (идти) в магазин, чтобы купить немного.
    Здесь мы говорим о факте и о действии, которое происходит в данный момент. Используем: — Да, у нас is вечеринка. Но у нас is running out майонез, и я am going в магазин, чтобы купить немного.
20. Извини, но мне действительно нужно бежать. Первые гости (приходить) менее чем через час.
    Здесь мы говорим о будущем действии. Используем Simple Present для расписаний: Первый гости are coming менее чем через час.