Разберём каждое место подробно, как на уроке: выберем правильное слово и объясним правило (subject — подлежащее, object — дополнение, possessive adjective — притяжательное прилагательное).

1. 1) my/me — my. Здесь слово стоит перед существительным family, поэтому нужно притяжательное прилагательное: my family.
2. 2) I/My — My. Фраза: "My mum's name is Joy." Перед словом "mum" опять притяжательное my (и ещё нужно поставить апостроф: mum's name).
3. 3) her/she — she. Полное предложение: "She is a teacher." После точки/и в начале предложения нужен субъект — местоимение subject (she), а не object (her).
4. 4) My/Me — My. Аналогично пункту 2: "My dad's name is Alex." Перед "dad" — притяжательное my (и апостроф: dad's).
5. 5) his/he — he. Полное предложение: "He is a doctor." Здесь снова нужен субъект предложения — he.
6. 6) Me/I — I. "I have also got a brother." Подлежащее — местоимение I (в английском всегда с большой буквы).
7. 7) He/His — His. "His name is John..." Перед словом name — притяжательное his (his name = его имя).
8. 8) his/him — him. "...and I love him a lot!" После глагола love нужно объектное местоимение: him.
9. 9) Us/We — We. "We are a very happy family!" Здесь местоимение — подлежащее, поэтому subject: we.
10. 10) we/us — us. "Look at us in this holiday picture!" После предлога at используется объектное местоимение: us.
11. 11) my/me — me. "Tell me about..." После глагола tell — дополнение, поэтому object: me.
12. 12) you/your — your. "...about your family!" Перед family — притяжательное прилагательное your.

Исправленный текст целиком:

Hi Sonia! This is a picture of my family. My mum's name is Joy and she is a teacher. My dad's name is Alex and he is a doctor. I have also got a brother. His name is John and I love him a lot! We are a very happy family! Look at us in this holiday picture! We are all smiling! Write soon and tell me about your family! Love, Martha