Давайте разберем каждое предложение и выберем правильный вариант. Я объясню, почему именно этот вариант правильный.

1. The boy's name is Gary.
   • Здесь нам нужно показать, что имя принадлежит одному мальчику, поэтому используем "boy's".
2. My cousins are Tina and Tom. My parents' dog is Rusty.
   • В первом случае речь идет о нескольких двоюродных братьях и сестрах, поэтому правильно использовать "cousins".
   • Во втором случае собака принадлежит родителям, поэтому правильно использовать "parents'".
3. Pam is the children's mum.
   • Здесь "children's" показывает, что мама принадлежит детям, поэтому используем "children's".
4. Harry and Jan's house is in London.
   • Здесь дом принадлежит обоим, Гарри и Джану, поэтому правильно использовать "Harry and Jan's".
5. Kai's brother's bike is red.
   • В этом предложении мы говорим о велосипеде, который принадлежит брату Кая, поэтому используем "Kai's brother's".
6. My aunts' names are Vera and Chloe.
   • Здесь речь идет о именах нескольких тетей, поэтому правильно использовать "aunts'".

Теперь вы знаете, как правильно использовать притяжательные формы в английском языке. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!