Давайте разберем, как правильно использовать артикли в данном предложении. В английском языке артикли "a", "an" и "the" играют важную роль в определении существительных.

1. Определение артиклей:

• Определенный артикль "the" используется, когда мы говорим о чем-то конкретном или известном слушателю.
• Неопределенные артикли "a" и "an" используются, когда мы говорим о чем-то в общем или когда это что-то упоминается впервые.

2. Заполнение артиклей в вашем предложении:

1. В первой части "Мой дедушка по отцовской линии был...садоводом" мы говорим о профессии. Здесь мы используем неопределенный артикль "a", так как это не конкретный садовод, а любой садовод. Получается: "Мой дедушка по отцовской линии был a садоводом".
2. Во второй части "на...рынке" мы говорим о конкретном рынке, поэтому здесь нужен определенный артикль "the". Получается: "на the рынке".
3. В третьей части "в...Линкольншире" мы говорим о конкретном месте - графстве, поэтому также нужен определенный артикль "the". Получается: "в the Линкольншире".

Теперь, подставив артикли, мы получаем полный текст:

Мой дедушка по отцовской линии был a садоводом на the рынке в the Линкольншире. Он жил в доме, который назывался Шакстон. Я думал, что это очень престижно иметь дом с названием. Я не знаю, чем занимался мой дедушка по материнской линии, он умер, когда я был маленьким ребенком.