Давайте разберем каждое предложение и подберем правильные предлоги. Я объясню, какие предлоги мы будем использовать и почему.

1. There is a bridge ... the palace and tower behind it.
   Здесь мы говорим о расположении моста относительно дворца и башни. Правильный предлог - between, потому что мост находится между двумя объектами.
   Ответ: There is a bridge between the palace and tower behind it.
2. My parents' bedroom is ... the back of the house.
   В этом предложении мы указываем местоположение спальни. Правильный предлог - at, так как мы говорим о конкретном месте.
   Ответ: My parents' bedroom is at the back of the house.
3. We often go to London ... car.
   Здесь мы говорим о способе передвижения. Правильный предлог - by, так как он используется для обозначения транспорта.
   Ответ: We often go to London by car.
4. There is a large fire ... the corner and a carpet ... the middle ... the room.
   В данном случае мы говорим о расположении огня и ковра. Правильные предлоги: in для огня в углу, in для ковра в середине и of для указания на комнату.
   Ответ: There is a large fire in the corner and a carpet in the middle of the room.
5. "I can't speak you. I'm ... a hurry."
   Здесь мы говорим о состоянии человека. Правильный предлог - in, так как мы используем его для обозначения состояния или ситуации.
   Ответ: "I can't speak you. I'm in a hurry."
6. The cupboard is next ... the wardrobe.
   В этом предложении мы указываем на расположение шкафа относительно гардероба. Правильный предлог - to, так как он используется для обозначения близости.
   Ответ: The cupboard is next to the wardrobe.
7. We are sure ... him.
   Здесь мы выражаем уверенность в чем-то. Правильный предлог - of, так как он используется для выражения уверенности.
   Ответ: We are sure of him.
8. What happened ... Mr Green?
   В этом предложении мы спрашиваем о событии, связанном с человеком. Правильный предлог - to, так как он используется для указания на действие, произошедшее с кем-то.
   Ответ: What happened to Mr Green?
9. I have never been ... New-York.
   Здесь мы говорим о месте, где мы были. Правильный предлог - to, так как он используется для указания на направление или местоположение.
   Ответ: I have never been to New-York.
10. The monument ... the king is ... main square ... the capital.
    В этом предложении мы говорим о местоположении памятника. Правильные предлоги: to для указания на то, кому он посвящен, in для указания на местоположение и of для указания на принадлежность.
    Ответ: The monument to the king is in main square of the capital.

Теперь у вас есть правильные предлоги для каждого предложения. Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!