В предложении "James was carefully _________ down what the teacher was saying." нам нужно вставить слово, которое будет обозначать действие записи того, что говорит учитель. Давайте разберем шаги, чтобы понять, какое слово подходит.

1. Определите контекст: В предложении речь идет о том, что Джеймс делает с информацией, которую говорит учитель. Слово "carefully" (внимательно) указывает на то, что он делает это с осторожностью и аккуратностью.
2. Выберите подходящее действие: Когда мы говорим о записи информации, особенно в учебном контексте, часто используем слово "writing" (записывать). Однако, здесь есть конкретное указание на то, что действие связано с записью чего-то, что сказано.
3. Используйте правильный глагол: В английском языке есть выражение "taking down notes", которое означает записывать то, что кто-то говорит. Однако в данном случае, более подходящим будет слово "writing".
4. Проверьте грамматическую форму: Поскольку предложение в прошедшем времени (was ...ing), нам нужно использовать форму глагола в present participle, то есть "writing".

Таким образом, правильное слово для вставки в пропуск будет "writing". Полное предложение будет выглядеть так: "James was carefully writing down what the teacher was saying."