Давайте разберемся, какие артикли нужно вставить в указанные выражения. Мы будем использовать определенный артикль "the", неопределенный артикль "a" или "an", или не использовать артикль вовсе. Я объясню, почему выбирается тот или иной вариант.

1. by ... heart - наизусть: by heart (без артикля, так как это устойчивое выражение).
2. take ... responsibility - взять ответственность на себя: take responsibility (также без артикля, так как это общее понятие).
3. in ... morning - утром: in the morning (используется определенный артикль, так как речь идет о конкретной части суток).
4. have ... smoke - покурить: have a smoke (неопределенный артикль, так как речь идет о каком-то курении в общем).
5. take ... place - иметь место, происходить: take place (без артикля, это устойчивое выражение).
6. at ... beginning of - в начале: at the beginning of (используется определенный артикль, так как речь идет о конкретном начале).
7. by ... hand - от руки: by hand (без артикля, это устойчивое выражение).
8. have ... rest - отдыхать: have a rest (неопределенный артикль, так как речь идет о каком-то отдыхе в общем).
9. study ... History - изучать историю: study History (без артикля, так как это название предмета).
10. What ... shame! - Как жаль!: What a shame! (неопределенный артикль, так как это выражение эмоций).
11. have ... head for heights - не боятся высоты: have a head for heights (неопределенный артикль, так как это выражение описывает качество).
12. in ... middle - в середине: in the middle (определенный артикль, так как речь идет о конкретной середине).
13. by ... mistake - ошибочно: by mistake (без артикля, это устойчивое выражение).
14. in ... evening - вечером: in the evening (определенный артикль, так как речь идет о конкретной части суток).
15. take ... part in - принимать участие: take part in (без артикля, это устойчивое выражение).
16. come into ... contact - вступать в контакт: come into contact (без артикля, это устойчивое выражение).
17. in ... beginning - в начале: in the beginning (определенный артикль, так как речь идет о конкретном начале).
18. have ... look - посмотреть: have a look (неопределенный артикль, так как речь идет о каком-то взгляде).
19. at ... least - по крайней мере: at least (без артикля, это устойчивое выражение).
20. in ... bed - быть в постели, болеть: in bed (без артикля, это устойчивое выражение).
21. by ... mail / by email - почтой / электронной почтой: by mail / by email (без артикля, это устойчивые выражения).
22. at ... end of - в конце: at the end of (определенный артикль, так как речь идет о конкретном конце).
23. declare ... war - объявить войну: declare war (без артикля, так как это общее понятие).
24. at ... ease - легко, непринужденно: at ease (без артикля, это устойчивое выражение).
25. in ... afternoon - во второй половине дня: in the afternoon (определенный артикль, так как речь идет о конкретной части суток).
26. study ... Mathematics - изучать математику: study Mathematics (без артикля, так как это название предмета).
27. in ... end - в конце: in the end (определенный артикль, так как речь идет о конкретном конце).
28. have ... cold - простудиться: have a cold (неопределенный артикль, так как речь идет о каком-то заболевании).
29. What ... relief! - Какое облегчение!: What a relief! (неопределенный артикль, так как это выражение эмоций).
30. speak ... English - разговаривать на английском: speak English (без артикля, так как это название языка).

Надеюсь, это поможет вам лучше понять, как использовать артикли в английском языке!