Давайте разберем оба предложения и выберем правильные формы глаголов.

1. Первое предложение: "Я обещаю, что я буду учиться лучше в следующем году!"
   • Здесь мы говорим о будущем времени, так как речь идет о том, что произойдет в следующем году.
   • Форма "буду учиться" является правильной, так как она указывает на намерение учиться лучше в будущем.
2. Второе предложение: "Она идет на рынок."
   • В этом предложении мы говорим о действии, которое происходит в данный момент.
   • Форма "идет" является правильной, так как она указывает на текущее действие.

Таким образом, правильные формы глаголов в ваших предложениях:

• буду учиться
• идет