Для решения этой задачи нам нужно найти одно слово, которое будет подходить по смыслу для обоих предложений в каждой паре. Давайте разберём каждую пару предложений по отдельности.

1. Первое предложение: "It's been raining all ... long." Здесь нам нужно слово, которое указывает на продолжительность времени. Подходящее слово - "day". То есть, правильный вариант: "It's been raining all day long."
2. Второе предложение: "Since her operation, her health has been improving ... by day." В этом случае слово "day" также подходит, так как мы говорим о том, что здоровье улучшается с каждым днем. Таким образом, мы можем заполнить оба предложения словом "day".

Теперь перейдем ко второй паре предложений:

1. Третье предложение: "Agnes and I have decided to ... married." Здесь нам нужно слово, которое подходит по смыслу к фразе о заключении брака. Правильное слово - "get". То есть, правильный вариант: "Agnes and I have decided to get married."
2. Четвёртое предложение: "How do you ... on with Julie?" Здесь нам нужно слово, которое означает "ладить" или "взаимодействовать". Слово "get" также подходит. В результате получаем: "How do you get on with Julie?"

Теперь мы собрали все необходимые слова. Первое слово, которое подходит для двух предложений - это "day", а второе - "get". Однако, в задании сказано, что нужно записать только одно слово, подходящее сразу для двух предложений. Таким образом, правильный ответ - "day".

Ответ: day