Чтобы правильно завершить предложение, давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов: "will", "won't" и "would".

• Will: Этот глагол используется для выражения будущего времени, когда мы говорим о том, что что-то произойдет. Например, "He will stop eating junk food" (Он перестанет есть нездоровую пищу).
• Won't: Это сокращенная форма "will not", которая используется для отрицания в будущем времени. Например, "He won't stop eating junk food" (Он не перестанет есть нездоровую пищу).
• Would: Этот глагол чаще используется в условных предложениях или для выражения вежливых просьб и предложений. Например, "He would stop eating junk food" (Он бы перестал есть нездоровую пищу), но это не подходит для уверенного утверждения о будущем.

Теперь, учитывая контекст предложения: "Эндрю сказал своим друзьям, что он ... перестанет есть нездоровую пищу в следующий понедельник", мы видим, что речь идет о намерении или обещании в будущем. Поэтому правильным вариантом будет "will".

Таким образом, правильное завершение предложения: "Эндрю сказал своим друзьям, что он will перестанет есть нездоровую пищу в следующий понедельник".