Чтобы правильно заполнить пропуски в предложениях, нужно помнить, что инфинитив - это форма глагола, которая обычно начинается с "to". В данном случае, мы будем использовать инфинитивы, чтобы выразить действия, которые зависят от других действий или выражают желания, просьбы и ожидания.

Давайте разберем каждое предложение по шагам:

1. He begged me (to forgive) him for everything.
   • В этом предложении "begged" (умолял) требует инфинитив, чтобы показать, что он просил прощения.
   • Правильный вариант: "He begged me to forgive him for everything."
2. I asked her (to lend) me a book for a week.
   • Слово "asked" (спросил) также требует инфинитив, чтобы указать, о чем именно шла речь.
   • Правильный вариант: "I asked her to lend me a book for a week."
3. I expect them (to arrive) home soon.
   • Глагол "expect" (ожидать) требует инфинитив для указания на то, что вы ждете их прибытия.
   • Правильный вариант: "I expect them to arrive home soon."
4. We invited them (to have) dinner with us.
   • Глагол "invited" (пригласили) требует инфинитив, чтобы показать, что вы пригласили их на ужин.
   • Правильный вариант: "We invited them to have dinner with us."
5. I would like you (to listen) to my story.
   • Фраза "would like" (хотел бы) также требует инфинитив, чтобы выразить желание, чтобы вы послушали его историю.
   • Правильный вариант: "I would like you to listen to my story."

Таким образом, все пропуски следует заполнять инфинитивами, которые зависят от глаголов, стоящих перед ними. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как правильно использовать инфинитивы в данных предложениях!