Чтобы правильно завершить предложение, давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов и выберем тот, который наиболее подходит по смыслу и грамматике.

В предложении говорится о событии, которое произошло в прошлом летом. Это указывает на то, что мы говорим о завершенном действии в прошлом. Также важно отметить, что дети заняли первое место, что подразумевает, что они активно участвовали в соревновании.

• a) took part in - это простое прошедшее время. Это предложение будет звучать как "В прошлом летом наши дети участвовали в соревновании." Это правильно, но не подходит для продолжения, так как не подчеркивает активное участие в процессе.
• b) was taking part in - это прошедшее продолженное время. Это предложение будет звучать как "В прошлом летом наш ребенок участвовал в соревновании." Это не подходит, так как "was" используется для единственного числа, а в предложении говорится о "детях".
• c) were taking part in - это прошедшее продолженное время во множественном числе. Это предложение будет звучать как "В прошлом летом наши дети участвовали в соревновании." Это подходит по смыслу, так как подчеркивает, что дети были вовлечены в процесс на протяжении времени.
• d) had taken part in - это прошлое совершенное время. Это предложение будет звучать как "В прошлом летом наши дети уже участвовали в соревновании." Это также не подходит, так как не подчеркивает активное участие в моменте времени.

На основании анализа, правильным вариантом будет c) were taking part in. Это завершает предложение так: "В прошлом летом наши дети были участниками соревнования. К счастью, они заняли первое место."