Для построения графика функции y = x² + 6x + 9 в заданном диапазоне x >= -20 и x < -5, а также для анализа пересечения с прямой y = m, следуем следующим шагам:

Сначала упростим функцию y = x² + 6x + 9. Заметим, что это можно записать как:

• y = (x + 3)².

Это квадратный трёхчлен, который имеет вершину в точке (-3, 0).

Теперь построим график функции в заданном диапазоне:

1. Определим значения x в диапазоне от -20 до -5.
2. Для каждого значения x вычислим соответствующее значение y.
3. Наносим полученные точки на координатную плоскость.

Теперь рассмотрим, при каких значениях m прямая y = m будет пересекаться с графиком функции y = (x + 3)².

Чтобы найти точки пересечения, приравняем y к m:

• (x + 3)² = m.

Теперь решим это уравнение:

1. Извлечем корень из обеих сторон:
• x + 3 = ±√m.
2. Решим для x:
• x = -3 + √m и x = -3 - √m.

Теперь определим, когда у нас будет одна или две точки пересечения:

• Если m > 0, то √m будет определено, и у нас будет два решения для x, следовательно, две точки пересечения.
• Если m = 0, то √m = 0, и у нас будет одно решение x = -3, это будет касание.
• Если m < 0, то √m не существует в действительных числах, и прямая не будет пересекаться с графиком.

Таким образом, прямая y = m будет пересекаться с графиком функции y = x² + 6x + 9:

• в двух точках, если m > 0;
• в одной точке, если m = 0;
• не будет пересекаться, если m < 0.