Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определение угловой скорости:

Угловая скорость вращающегося тела задана формулой:

w = 2 - 8t^2

Здесь w - угловая скорость, t - время в секундах.

2. Условие остановки тела:

Тело остановится, когда угловая скорость станет равной нулю:

0 = 2 - 8t^2

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим 2 на другую сторону:
2. 8t^2 = 2
3. Делим обе стороны на 8:
4. t^2 = 2/8 = 1/4
5. Теперь извлекаем корень из обеих сторон:
6. t = √(1/4) = 1/2.

Таким образом, тело остановится через 0.5 секунды.

3. Угловое перемещение:

Чтобы найти угол поворота тела за это время, нам нужно использовать формулу углового перемещения:

θ = ∫w dt,

где θ - угол поворота, а w - угловая скорость.

Подставим w в интеграл:

θ = ∫(2 - 8t^2) dt от 0 до 0.5.

Теперь найдем интеграл:

1. Интегрируем 2 dt: ∫2 dt = 2t.
2. Интегрируем -8t^2 dt: ∫-8t^2 dt = -8*(t^3)/3 = -8/3 * t^3.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 0.5:

θ = [2t - (8/3)t^3] от 0 до 0.5.

Теперь подставим верхний предел:

1. θ(0.5) = 2*(0.5) - (8/3)*(0.5)^3 = 1 - (8/3)*(1/8) = 1 - 1/3 = 2/3.

Теперь подставим нижний предел (t = 0):

1. θ(0) = 2*(0) - (8/3)*(0)^3 = 0.

Теперь находим угол поворота:

θ = (2/3) - 0 = 2/3 радиан.

Итак, итоговые результаты:

• Время до остановки тела: 0.5 секунды.
• Угол поворота тела за это время: 2/3 радиан.