Задача 10. На доске написаны числа от 1 до 100. Петя и Вася по очереди вычеркивают эти числа, при этом Петя ходит первым. После 49-го хода Васи мы будем считать разность двух оставшихся чисел. Если разность больше 50, то выигрывает Вася, а если меньше 50, то выигрывает Петя. Докажите, что: а) у Васи есть стратегия, позволяющая избежать проигрыша; б) у Пети есть стратегия, позволяющая избежать проигрыша.

Другие предметы 9 класс Стратегии в играх игра с числами стратегия выигрыша математика логика комбинаторная игра разность чисел Петя и Вася вычеркивание чисел анализ игры теорема о выигрыше Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

У нас есть числа от 1 до 100, и Петя и Вася по очереди вычеркивают числа. Петя начинает первым, а после 49-го хода Васи остаются два числа, разность которых определяет победителя. Если разность больше 50, выигрывает Вася, если меньше 50 - Петя.

Часть а) Стратегия Васи

Чтобы доказать, что у Васи есть стратегия, позволяющая избежать проигрыша, рассмотрим следующее:

1. В начале игры числа от 1 до 100 имеют сумму 5050.
2. Петя делает первый ход и вычеркивает одно число. Это число может быть любым от 1 до 100.
3. После каждого хода Пети, Вася должен вычеркивать число, которое поможет ему контролировать разность оставшихся чисел.
4. Если Вася будет вычеркивать числа таким образом, чтобы оставшиеся числа всегда оставались симметричными относительно 50, он сможет гарантировать, что разность между оставшимися числами никогда не превысит 50.

Таким образом, если Вася будет следовать этой стратегии, он сможет избежать проигрыша.

Часть б) Стратегия Пети

Теперь давайте рассмотрим стратегию Пети:

1. Петя должен вычеркивать числа так, чтобы оставшиеся числа не позволяли Васе создать симметричную пару относительно 50.
2. Петя может начинать с вычеркивания числа 50. Это число является ключевым, так как оно делит все числа на две равные группы: от 1 до 49 и от 51 до 100.
3. После этого, любой ход Васи будет оставлять числа, которые можно контролировать с помощью дальнейших ходов Пети.
4. Петя должен стараться вычеркивать числа, которые находятся в паре с теми, которые вычеркивает Вася, чтобы сохранять контроль над разностью.

Следуя этой стратегии, Петя также может избежать проигрыша, сохраняя контроль над оставшимися числами.

Таким образом, мы пришли к выводу, что у обоих игроков есть стратегии, позволяющие избежать проигрыша в данной игре.