Дана функция: z=x2-2xy2+y3. Найдите частные производные второго порядка для этой функции.

Другие предметы Колледж Частные производные и дифференциальное исчисление частные производные математика колледж функция z производные второго порядка z=x^2-2xy^2+y^3 Новый

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = x² - 2xy² + y³, мы сначала найдем частные производные первого порядка по переменным x и y, а затем найдем производные второго порядка.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

• Частная производная z по x:
1. Возьмем производную от z = x² - 2xy² + y³ по x.
2. Производная x² равна 2x.
3. Производная -2xy² по x равна -2y² (так как y² считается константой при дифференцировании по x).
4. Производная y³ по x равна 0 (так как это константа при дифференцировании по x).
5. Таким образом, частная производная z по x будет: ∂z/∂x = 2x - 2y².
• Частная производная z по y:
1. Теперь возьмем производную от z = x² - 2xy² + y³ по y.
2. Производная x² по y равна 0 (так как это константа при дифференцировании по y).
3. Производная -2xy² по y равна -4xy (используем правило произведения).
4. Производная y³ по y равна 3y².
5. Таким образом, частная производная z по y будет: ∂z/∂y = -4xy + 3y².

Шаг 2: Найдем частные производные второго порядка.

• Частная производная второго порядка z по x:
1. Найдём ∂²z/∂x², взяв производную ∂z/∂x = 2x - 2y² по x.
2. Производная 2x по x равна 2.
3. Производная -2y² по x равна 0.
4. Таким образом, ∂²z/∂x² = 2.
• Частная производная второго порядка z по y:
1. Теперь найдём ∂²z/∂y², взяв производную ∂z/∂y = -4xy + 3y² по y.
2. Производная -4xy по y равна -4x.
3. Производная 3y² по y равна 6y.
4. Таким образом, ∂²z/∂y² = -4x + 6y.
• Смешанная частная производная z по x и y:
1. Теперь найдём ∂²z/∂x∂y, взяв производную ∂z/∂x = 2x - 2y² по y.
2. Производная 2x по y равна 0.
3. Производная -2y² по y равна -4y.
4. Таким образом, ∂²z/∂x∂y = -4y.
• Смешанная частная производная z по y и x:
1. Теперь найдём ∂²z/∂y∂x, взяв производную ∂z/∂y = -4xy + 3y² по x.
2. Производная -4xy по x равна -4y.
3. Производная 3y² по x равна 0.
4. Таким образом, ∂²z/∂y∂x = -4y.

Итак, мы нашли все частные производные второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 2
• ∂²z/∂y² = -4x + 6y
• ∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x = -4y