Дана функция, заданная неявно: 2x² + 3y² = 9x.
Найдите производную данной функции

• (2x + 3y) / 9
• (9 - 4x) / 6y
• (9 - 2x) / 3

Другие предметы Колледж Неявная дифференциация высшая математика колледж неявная функция производная 2x² + 3y² задача по математике нахождение производной математический анализ Новый

Для нахождения производной функции, заданной неявно, мы будем использовать метод неявного дифференцирования. Давайте сначала перепишем данное уравнение:

1. Исходное уравнение:

2x² + 3y² = 9x

2. Находим производную по x:

Для этого продифференцируем обе стороны уравнения по x, применяя правило дифференцирования сложной функции и учитывая, что y является функцией от x.

• Левая часть:
  • Производная от 2x²: 4x
  • Производная от 3y²: 6y(dy/dx) (по правилу цепочки)
• Правая часть:
  • Производная от 9x: 9

Таким образом, получаем:

4x + 6y(dy/dx) = 9

3. Выражаем dy/dx:

Теперь нам нужно выразить dy/dx. Для этого из уравнения можно выразить dy/dx:

• 6y(dy/dx) = 9 - 4x
• dy/dx = (9 - 4x) / (6y)

4. Подставляем y:

Теперь нам нужно подставить значение y из исходного уравнения. Для этого решим уравнение 2x² + 3y² = 9x относительно y:

• 3y² = 9x - 2x²
• y² = (9x - 2x²) / 3
• y = ±√((9x - 2x²) / 3)

5. Подставляем y в dy/dx:

Теперь подставим y в выражение для dy/dx:

• dy/dx = (9 - 4x) / (6 * ±√((9x - 2x²) / 3))

6. Упростим выражение:

Теперь упростим выражение:

• dy/dx = (9 - 4x) / (6 * ±√((9x - 2x²) / 3))
• dy/dx = (9 - 4x) / (±2√(3(9x - 2x²)))

Таким образом, мы нашли производную функции, заданной неявно:

dy/dx = (9 - 4x) / (6y)

Теперь вы можете использовать это выражение для дальнейших вычислений или подстановок.