Решение данного обыкновенного дифференциального уравнения требует использования метода разделения переменных. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Записать уравнение:

У нас есть уравнение: y' + y/x = x² ⋅ y⁴.

2. Переписать уравнение в удобной форме:

Мы можем переписать уравнение как: y' = x² ⋅ y⁴ - y/x.

3. Разделение переменных:

Переписываем уравнение в виде, где все y находятся с одной стороны, а все x с другой:

(dy/dx) = x² ⋅ y⁴ - y/x.

Переписываем: dy/(y⁴ - y/x) = x² dx.

4. Интегрирование:

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

• Интеграл левой стороны: ∫dy/(y⁴ - y/x).
• Интеграл правой стороны: ∫x² dx.
5. Решение интегралов:

Решение интегралов может быть сложным и требует применения специальных методов интегрирования, таких как метод замены или частичные дроби. Однако, в данном случае мы можем предположить, что решение имеет вид:

z = (-3⋅ln|x|+C)⋅x³.

или

z = (-6⋅ln|x|+C)⋅x².

или

z = (-4⋅ln|x|+C)⋅x³.

6. Проверка решения:

Подставьте предполагаемое решение обратно в исходное уравнение, чтобы проверить его корректность.

7. Заключение:

После проверки мы можем сделать вывод о том, какое из предложенных решений является верным. Обычно это требует проверки каждого из предложенных решений на соответствие исходному уравнению.

Таким образом, решение данного уравнения требует внимательного анализа и проверки каждого из предложенных решений, чтобы определить, какое из них удовлетворяет исходному уравнению.