Для анализа поведения модуля погрешности решения задачи Коши для уравнения у' = у - 4х с начальным условием у(0) = 0.5 на отрезке [0, 10], нам необходимо выполнить несколько шагов.

• Уравнение: у' = у - 4х
• Начальное условие: у(0) = 0.5

Чтобы понять, как ведет себя решение, найдем его аналитически. Это уравнение является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель для уравнения у' - у = -4х равен e^(-x). Умножим обе стороны уравнения на этот множитель:

• e^(-x) * у' - e^(-x) * у = -4х * e^(-x)

Теперь мы можем переписать левую часть как производную:

• (e^(-x) * у)' = -4х * e^(-x)

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(e^(-x) * у)' dx = ∫(-4х * e^(-x)) dx

Решая это уравнение, мы найдем общее решение, а затем подставим начальное условие, чтобы найти конкретное решение.

Модуль погрешности решения зависит от устойчивости и точности численных методов, используемых для решения задачи Коши. В данном случае, так как уравнение имеет линейный характер, можно ожидать, что решение будет устойчивым.

Однако, если мы будем рассматривать численные методы, такие как метод Эйлера или метод Рунге-Кутты, нужно обратить внимание на шаг сетки:

• При слишком большом шаге сетки погрешность может увеличиваться.
• При уменьшении шага сетки погрешность будет уменьшаться, но время вычислений увеличится.

В зависимости от выбора метода и шага сетки, модуль погрешности может:

• Увеличиваться, если шаг сетки слишком большой.
• Уменьшаться, если шаг сетки уменьшается.

Таким образом, можно сказать, что модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] будет уменьшаться с уменьшением шага сетки, что указывает на устойчивое поведение решения. Однако при больших шагах сетки погрешность может возрастать.