Для анализа поведения модуля погрешности решения задачи Коши, заданной уравнением у' = у - 4х с начальным условием у(0) = 0.5 на отрезке [0, 10], необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов.

• Уравнение: у' = у - 4х
• Начальное условие: у(0) = 0.5

Для нахождения решения данного уравнения можно использовать метод интегрирования. Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, и его можно решить методом разделения переменных или методом интегрирующего множителя. Однако, для простоты, мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя.

В данном случае интегрирующий множитель равен e^(∫(1)dx) = e^x. Умножим уравнение на e^x:

e^x * у' - e^x * (у - 4х) = 0.

Теперь у нас есть уравнение, которое можно упростить и решить.

Решение этого уравнения будет иметь вид:

у(x) = C * e^x + 4x - 4, где C - константа, определяемая начальным условием.

Подставляя начальное условие у(0) = 0.5, получаем:

0.5 = C * e^0 + 0 - 4, отсюда C = 4.5.

Таким образом, общее решение будет:

у(x) = 4.5 * e^x + 4x - 4.

Теперь, чтобы понять, как ведет себя модуль погрешности, необходимо рассмотреть производную найденного решения:

у' = 4.5 * e^x + 4.

Так как e^x всегда положительно, то 4.5 * e^x > 0 для любого x, и следовательно, у'> 0 для x в [0, 10]. Это означает, что решение у(x) возрастает на данном отрезке.

Таким образом, модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] будет возрастать, так как производная у' положительна, и функция у(x) монотонно возрастает.