Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.

Другие предметы Колледж Необходимые и достаточные условия экстремумов функций необходимое условие возрастание функции дифференцируемая функция математический анализ колледж доказательство условия Новый

Чтобы доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции, начнем с определения. Пусть у нас есть функция f(x), которая является дифференцируемой на интервале (a, b). Мы хотим показать, что если функция f(x) возрастает на этом интервале, то ее производная f'(x) неотрицательна для всех x из этого интервала.

Давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Определение возрастания функции:

   Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство:

   f(x1) < f(x2).

2. Использование определения производной:

   По определению производной, мы имеем:

   f'(x) = lim (h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h.

   Если f(x) возрастает, то для любого x и достаточно малого h (такого, что x + h остается в интервале (a, b)), мы получаем:

   f(x + h) > f(x).

   Это означает, что:

   f(x + h) - f(x) > 0.

3. Анализ производной:

   Подставим это неравенство в формулу для производной:

   f'(x) = lim (h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h > 0, если h > 0.

   Таким образом, при h стремящемся к 0 с положительной стороны, мы видим, что производная f'(x) должна быть неотрицательной.

4. Обобщение:

   Поскольку h может быть как положительным, так и отрицательным, мы также можем рассмотреть случай, когда h < 0. В этом случае:

   f(x + h) < f(x),

   что также подтверждает, что производная не может быть отрицательной, если функция возрастает на всем интервале.

Таким образом, мы приходим к выводу, что если функция f(x) возрастает на интервале (a, b), то ее производная f'(x) неотрицательна для всех x из этого интервала. Это и есть необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.