Доказать свойство линейности смешанного произведения

Другие предметы Колледж Смешанное произведение векторных пространств линейная алгебра смешанное произведение свойство линейности доказательство колледж аналитическая геометрия Новый

Смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве определяется как объем параллелепипеда, образованного этими векторами. Если у нас есть три вектора A, B и C, то смешанное произведение обозначается как [A, B, C] и вычисляется по формуле:

[A, B, C] = A · (B × C),

где "·" - скалярное произведение, а "×" - векторное произведение.

Теперь давайте докажем свойство линейности смешанного произведения. Это свойство гласит, что смешанное произведение линейно по каждому из своих аргументов. То есть, для любых векторов A, B1, B2, C1, C2 и скаляров k1 и k2 выполняются следующие равенства:

• [A, k1 * B1 + k2 * B2, C] = k1 * [A, B1, C] + k2 * [A, B2, C]
• [A, B, k1 * C1 + k2 * C2] = k1 * [A, B, C1] + k2 * [A, B, C2]

Теперь рассмотрим первое равенство:

1. Запишем смешанное произведение с учетом линейности второго вектора:
2. [A, k1 * B1 + k2 * B2, C] = A · ((k1 * B1 + k2 * B2) × C).
3. По свойству дистрибутивности векторного произведения получаем:
4. (k1 * B1 + k2 * B2) × C = k1 * (B1 × C) + k2 * (B2 × C).
5. Теперь подставим это выражение в смешанное произведение:
6. [A, k1 * B1 + k2 * B2, C] = A · (k1 * (B1 × C) + k2 * (B2 × C)).
7. Используя линейность скалярного произведения, получаем:
8. A · (k1 * (B1 × C)) + A · (k2 * (B2 × C)) = k1 * [A, B1, C] + k2 * [A, B2, C].

Таким образом, первое равенство доказано.

Теперь перейдем ко второму равенству:

1. Запишем смешанное произведение с учетом линейности третьего вектора:
2. [A, B, k1 * C1 + k2 * C2] = A · (B × (k1 * C1 + k2 * C2)).
3. По свойству дистрибутивности векторного произведения получаем:
4. B × (k1 * C1 + k2 * C2) = k1 * (B × C1) + k2 * (B × C2).
5. Теперь подставим это выражение в смешанное произведение:
6. [A, B, k1 * C1 + k2 * C2] = A · (k1 * (B × C1) + k2 * (B × C2)).
7. Используя линейность скалярного произведения, получаем:
8. A · (k1 * (B × C1)) + A · (k2 * (B × C2)) = k1 * [A, B, C1] + k2 * [A, B, C2].

Таким образом, второе равенство также доказано.

В заключение, мы показали, что смешанное произведение линейно по каждому из своих аргументов. Это свойство является важным в линейной алгебре и аналитической геометрии.