Доказать теорему Лагранжа.

Другие предметы Колледж Теорема о среднем значении математический анализ теорема Лагранжа доказательство теоремы колледж математика основы математического анализа Новый

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении, утверждает, что если функция f(x) непрерывна на закрытом интервале [a, b] и дифференцируема на открытом интервале (a, b), то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Теперь давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам доказать эту теорему:

1. Определение функции: Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a) - f(a). Эта функция будет использоваться для доказательства.
2. Проверка условий: Мы знаем, что f(x) непрерывна на [a, b], и дифференцируема на (a, b). Следовательно, функция g(x) также будет непрерывной на [a, b] и дифференцируемой на (a, b).
3. Нахождение значений: Вычислим значения g(a) и g(b):
   • g(a) = f(a) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (a - a) - f(a) = 0
   • g(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (b - a) - f(a) = f(b) - (f(b) - f(a)) - f(a) = 0

   Таким образом, g(a) = 0 и g(b) = 0.

4. Применение теоремы Ролля: Поскольку g(a) = g(b) = 0 и g(x) непрерывна и дифференцируема, по теореме Ролля существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b) такая, что g'(c) = 0.
5. Вычисление производной: Найдем производную g(x):

   g'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a).

   Установим это равенство в точке c:

   g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0.

6. Заключение: Из последнего уравнения следует, что f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Это и доказывает теорему Лагранжа.

Таким образом, мы пришли к выводу, что в интервале (a, b) существует хотя бы одна точка c, в которой производная функции равна среднему значению приращения функции на этом интервале. Это и есть суть теоремы Лагранжа.