Теорема о пределе произведения функций утверждает следующее:

Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке a, то предел произведения этих функций в точке a равен произведению их пределов:

Если lim (x → a) f(x) = A и lim (x → a) g(x) = B, то:

lim (x → a) [f(x) * g(x)] = A * B.

Теперь давайте докажем эту теорему шаг за шагом.

1. Определение предела: Мы начнем с определения предела функции. Для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что:
• Если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - A| < ε/2.
• Если 0 < |x - a| < δ, то |g(x) - B| < ε/2.
2. Выбор δ: Мы можем выбрать δ так, чтобы обе функции f(x) и g(x) были достаточно близки к своим пределам A и B. То есть, мы можем выбрать δ так, чтобы:
• |f(x) - A| < ε/2,
• |g(x) - B| < ε/2.
3. Использование неравенств: Теперь мы можем рассмотреть произведение f(x) * g(x). Мы хотим показать, что:
• |f(x) * g(x) - A * B| < ε.
4. Раскрытие скобок: Мы можем разложить выражение |f(x) * g(x) - A * B| следующим образом:
• |f(x) * g(x) - A * B| = |f(x) * g(x) - f(x) * B + f(x) * B - A * B|.
• Это можно переписать как: |f(x) * (g(x) - B) + B * (f(x) - A)|.
5. Применение неравенства треугольника: Теперь применяем неравенство треугольника:
• |f(x) * (g(x) - B)| + |B * (f(x) - A)|.
6. Оценка каждого слагаемого: Мы знаем, что |g(x) - B| < ε/2 и |f(x) - A| < ε/2. Теперь нужно оценить |f(x)|. Поскольку f(x) стремится к A, мы можем найти такое M, что для x, близких к a, |f(x)| < |A| + 1 (например, M = |A| + 1).
• Тогда |f(x)| < M.
• Таким образом, |f(x) * (g(x) - B)| < M * (ε/2) = Mε/2.
7. Оценка второго слагаемого: Теперь оценим |B * (f(x) - A)|:
• |B * (f(x) - A)| < |B| * (ε/2).
8. Суммирование оценок: Теперь мы можем объединить результаты:
• |f(x) * (g(x) - B)| + |B * (f(x) - A)| < Mε/2 + |B| * (ε/2).
9. Установка ε: Теперь мы можем выбрать ε так, чтобы суммарное выражение было меньше ε. Таким образом, мы получаем:
• lim (x → a) [f(x) * g(x)] = A * B.

Таким образом, мы доказали теорему о пределе произведения функций. Если у вас есть вопросы или вам нужно больше объяснений по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!