Теорема об эквивалентных бесконечно малых утверждает, что если две функции f(x) и g(x) стремятся к нулю при x, стремящемся к некоторому значению (например, 0),и если их отношение стремится к 1, то эти функции являются эквивалентными бесконечно малыми.

Формально, если:

• f(x) и g(x) - бесконечно малые функции при x → 0,
• lim (x → 0) f(x)/g(x) = 1,

то мы можем сказать, что f(x) ~ g(x) (f(x) эквивалентно g(x) при x → 0).

Теперь давайте рассмотрим шаги, необходимые для доказательства этой теоремы:

1. Определение бесконечно малых: Сначала нам нужно понять, что такое бесконечно малая функция. Функция f(x) называется бесконечно малой при x → 0, если lim (x → 0) f(x) = 0.
2. Проверка условий: Убедитесь, что функции f(x) и g(x) действительно являются бесконечно малыми. Это значит, что необходимо показать, что lim (x → 0) f(x) = 0 и lim (x → 0) g(x) = 0.
3. Вычисление предела отношения: Далее нужно вычислить предел отношения f(x)/g(x) при x → 0. Если этот предел равен 1, то это подтверждает, что f и g ведут себя одинаково при приближении x к 0.
4. Заключение: Если оба условия выполнены (обе функции бесконечно малы и их отношение стремится к 1),то по определению эквивалентных бесконечно малых, мы можем заключить, что f(x) ~ g(x).

Таким образом, мы доказали теорему об эквивалентных бесконечно малых. Этот результат очень полезен в математическом анализе, особенно при работе с пределами и производными.