Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Другие предметы Колледж Теоремы о производной теорема Ролля теорема Ферма доказательство теорем математический анализ колледж математика Новый

Теорема Ролля утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), и при этом f(a) = f(b), то существует такая точка c из интервала (a, b), что f'(c) = 0.

Доказательство теоремы Ролля:

1. Сначала мы проверяем условия теоремы: функция f(x) должна быть непрерывной на [a, b] и дифференцируемой на (a, b). Также необходимо, чтобы f(a) = f(b).
2. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то по теореме о максимуме и минимуме, функция f(x) достигает своего максимума и минимума на этом отрезке.
3. Пусть M - максимум функции f на [a, b], а m - минимум. Если M = m, то f(x) является постоянной функцией на [a, b], и тогда f'(x) = 0 для всех x из (a, b), что удовлетворяет условию.
4. Если M > m, то максимум M достигается в некоторой точке c1, а минимум m - в некоторой точке c2. Так как f(a) = f(b), одна из этих точек (c1 или c2) должна находиться в интервале (a, b).
5. По теореме о производной, если c1 - точка максимума, то f'(c1) = 0. Аналогично, если c2 - точка минимума, то f'(c2) = 0. Таким образом, мы находим хотя бы одну точку c из (a, b), для которой f'(c) = 0.

Таким образом, теорема Ролля доказана.

Теорема Ферма гласит, что если функция f(x) имеет локальный максимум или минимум в точке c, и f(x) дифференцируема в этой точке, то f'(c) = 0.

Доказательство теоремы Ферма:

1. Рассмотрим функцию f(x) и точку c, в которой f(c) является локальным максимумом. Это означает, что существует такое δ > 0, что для всех x из (c - δ, c + δ) выполняется неравенство f(x) ≤ f(c).
2. Теперь рассмотрим производную функции f в точке c. Если f'(c) существует, то мы можем использовать определение производной:
• f'(c) = lim (x → c) [f(x) - f(c)] / (x - c).
3. Для x < c, f(x) < f(c), следовательно, [f(x) - f(c)] < 0, и поэтому предел будет стремиться к отрицательному значению.
4. Для x > c, f(x) < f(c), и, следовательно, [f(x) - f(c)] < 0, что приводит к тому, что предел будет стремиться к положительному значению.
5. Таким образом, предел не может существовать, если f'(c) не равен 0, поскольку в противном случае мы получили бы противоречие.

Таким образом, если f(c) является локальным максимумом или минимумом, то f'(c) = 0, что и требовалось доказать.