Доказать второе достаточное условие экстремума.

Другие предметы Колледж Второе достаточное условие экстремума математический анализ экстремумы достаточные условия доказательство колледж второе условие экстремума Новый

Второе достаточное условие экстремума в математическом анализе позволяет определить, является ли стационарная точка (точка, где первая производная равна нулю) минимумом или максимумом функции. Рассмотрим функцию f(x), которая имеет непрерывные производные в окрестности точки x0.

Шаги доказательства:

1. Находим первую производную: Сначала мы находим первую производную функции f(x) и устанавливаем, что f'(x0) = 0. Это означает, что x0 - стационарная точка.
2. Находим вторую производную: Затем мы вычисляем вторую производную функции f(x) в этой точке: f''(x0).
3. Анализируем знак второй производной:
   • Если f''(x0) > 0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x0. Это связано с тем, что в этой точке график функции "выпуклый вверх".
   • Если f''(x0) < 0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0. Здесь график функции "выпуклый вниз".
   • Если f''(x0) = 0, то это условие не дает информации о характере стационарной точки, и необходимо использовать другие методы для анализа (например, третий порядок производной или тест на выпуклость).
4. Вывод: Таким образом, если в точке x0 первая производная равна нулю и вторая производная положительна, то x0 - локальный минимум. Если вторая производная отрицательна, то x0 - локальный максимум.

Это и есть второе достаточное условие экстремума, которое помогает нам классифицировать стационарные точки функции.