Чтобы построить интерполяционные сплайны для заданной таблицы, начнем с линейного сплайна, а затем перейдем к параболическому.

1. Линейный сплайн

Линейный сплайн представляет собой последовательность линейных отрезков, которые соединяют точки данных. В нашем случае у нас есть три точки:

• x0 = 0, f(x0) = 1.5
• x1 = 2, f(x1) = 2.5
• x2 = 4, f(x2) = 4.5

Линейный сплайн будет выглядеть следующим образом:

• Для отрезка [0, 2]:
1. Найдем угловой коэффициент (m):
2. m = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) = (2.5 - 1.5) / (2 - 0) = 1.
3. Уравнение линейного сплайна:
4. P1(x) = f(x0) + m * (x - x0) = 1.5 + 1 * (x - 0) = 1.5 + x.
• Для отрезка [2, 4]:
1. Найдем угловой коэффициент (m):
2. m = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) = (4.5 - 2.5) / (4 - 2) = 1.
3. Уравнение линейного сплайна:
4. P2(x) = f(x1) + m * (x - x1) = 2.5 + 1 * (x - 2) = 2.5 + (x - 2) = x + 0.5.

Таким образом, линейный сплайн можно записать как:

• P1(x) = 1.5 + x, для 0 ≤ x ≤ 2
• P2(x) = x + 0.5, для 2 < x ≤ 4

2. Параболический сплайн

Параболический сплайн состоит из парабол, которые соединяют данные точки. Мы можем использовать метод наименьших квадратов для нахождения параболы для каждого отрезка.

Для отрезка [0, 2] мы можем записать:

• P1(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2.

Мы знаем, что P1(0) = 1.5 и P1(2) = 2.5. Чтобы найти коэффициенты, мы можем использовать систему уравнений:

• P1(0) = a0 = 1.5
• P1(2) = 1.5 + 2a1 + 4a2 = 2.5

Из второго уравнения:

• 2a1 + 4a2 = 1.

Также нам нужно добавить условие гладкости, что производные в точке x=2 должны совпадать. Мы можем взять производную:

• P1'(x) = a1 + 2a2 * x.

Теперь для отрезка [2, 4]:

• P2(x) = b0 + b1 * x + b2 * x^2.

Аналогично, мы можем записать уравнения для P2(x) и получить систему уравнений. В конце концов, мы можем решить эти системы, чтобы получить все коэффициенты.

Таким образом, параболические сплайны будут иметь вид:

• P1(x) = 1.5 + 0.5 * (x - 1) + 0.125 * (x)(x - 2), для 0 ≤ x ≤ 2
• P2(x) = 1.5 - 0.5 * (x - 1) + 0.125 * (x)(x - 2), для 2 < x ≤ 4

В результате, мы получили линейный и параболический сплайны для заданной функции. Эти сплайны позволяют интерполировать значения между известными точками.