Используя эквивалентные преобразования, постройте многочлен Жегалкина для формулы: (¬((X→​Y) ∨ ¬(Y →​ X)) ∧ Z) и укажите, сколько в нем слагаемых

Другие предметы Колледж Многочлены Жегалкина и логические выражения дискретная математика колледж многочлен Жегалкина эквивалентные преобразования логические формулы слагаемые многочлена Новый

Для построения многочлена Жегалкина для данной формулы (¬((X→Y) ∨ ¬(Y→X)) ∧ Z) мы будем использовать эквивалентные преобразования логических выражений. Начнем с упрощения исходной формулы.

1. Применим определения логических операций:
   • Импликация (X→Y) эквивалентна (¬X ∨ Y).
   • Следовательно, Y→X эквивалентна (¬Y ∨ X).
2. Подставим эти эквиваленты в формулу:

   Формула становится: ¬((¬X ∨ Y) ∨ ¬(¬Y ∨ X)) ∧ Z.

3. Упростим выражение внутри отрицания:

   ¬(¬X ∨ Y) эквивалентно (X ∧ ¬Y), а ¬(¬Y ∨ X) эквивалентно (Y ∧ ¬X).

   Таким образом, мы имеем: ¬((X ∧ ¬Y) ∨ (Y ∧ ¬X)).

4. Применим закон де Моргана:

   ¬(A ∨ B) эквивалентно (¬A ∧ ¬B). Тогда:

   ¬((X ∧ ¬Y) ∨ (Y ∧ ¬X)) эквивалентно (¬(X ∧ ¬Y) ∧ ¬(Y ∧ ¬X)).

   Теперь применим закон де Моргана к каждому из слагаемых:

   • ¬(X ∧ ¬Y) эквивалентно (¬X ∨ Y).
   • ¬(Y ∧ ¬X) эквивалентно (¬Y ∨ X).
5. Теперь мы можем записать выражение:

   (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X).

6. Теперь добавим Z:

   Получаем: ((¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X)) ∧ Z.

7. Теперь применим дистрибутивность:

   Это выражение можно упростить до:

   (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (Y ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (¬X ∧ Y ∧ Z).

8. Убираем лишние слагаемые:

   Слагаемое (Y ∧ ¬Y ∧ Z) всегда равно 0, поэтому его можно убрать.

9. Теперь у нас есть:

   (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (¬X ∧ Y ∧ Z).

Таким образом, многочлен Жегалкина для данной формулы будет равен:

f(X, Y, Z) = (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) + (X ∧ ¬Y ∧ Z) + (¬X ∧ Y ∧ Z).

Теперь подсчитаем количество слагаемых:

• Первое слагаемое: (¬X ∧ ¬Y ∧ Z).
• Второе слагаемое: (X ∧ ¬Y ∧ Z).
• Третье слагаемое: (¬X ∧ Y ∧ Z).

Итак, в многочлене Жегалкина 3 слагаемых.