2025-07-29 11:53:39
Из группы в 20 студентов, пришедшей на экзамен, 6 человек отлично подготовились (знают все 40 вопросов), 8 — неплохо подготовились (выучили по 32 вопроса), 4 человека готовы лишь наполовину (по 20 вопросов), а двое успели повторить только по 10 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности того, что спрошенный (и получивший отлично) студент был подготовлен/
а) отлично,
6) хорошо,
в) посредственно,
г) плохо.
Другие предметы Колледж Байесовские вероятности апостериорные вероятности теория вероятностей математическая статистика экзамен студенты подготовка студентов вероятности ответов случайный выбор студента подготовка к экзамену задачи по статистике колледж теории вероятностей
2025-07-29 11:54:14
Для решения данной задачи нам нужно использовать формулу Байеса для нахождения апостериорных вероятностей. Давайте разберем шаги, которые нам нужно выполнить.
Сначала определим количество студентов в каждой категории подготовки:
- Отлично подготовленные: 6 студентов
- Хорошо подготовленные: 8 студентов
- Посредственно подготовленные: 4 студента
- Плохо подготовленные: 2 студента
Теперь найдем общее количество студентов:
- Общее количество студентов = 6 + 8 + 4 + 2 = 20 студентов
Теперь определим вероятности того, что студент принадлежит к каждой категории:
- P(Отлично) = 6/20 = 0.3
- P(Хорошо) = 8/20 = 0.4
- P(Посредственно) = 4/20 = 0.2
- P(Плохо) = 2/20 = 0.1
Теперь нам нужно рассмотреть вероятность того, что студент, выбранный наугад, ответит на три вопроса отлично, в зависимости от его подготовки:
- Для отлично подготовленного студента: P(Ответил отлично | Отлично) = 1 (он знает все вопросы)
- Для хорошо подготовленного студента: P(Ответил отлично | Хорошо) = C(32, 3) / C(40, 3), где C(n, k) - это число сочетаний из n по k.
- Для посредственно подготовленного студента: P(Ответил отлично | Посредственно) = C(20, 3) / C(40, 3)
- Для плохо подготовленного студента: P(Ответил отлично | Плохо) = C(10, 3) / C(40, 3)
Теперь давайте найдем значения сочетаний:
- C(40, 3) = 40! / (3! * (40-3)!) = 9880
- C(32, 3) = 4960
- C(20, 3) = 1140
- C(10, 3) = 120
Теперь подставим значения в вероятности:
- P(Ответил отлично | Хорошо) = 4960 / 9880 ≈ 0.5
- P(Ответил отлично | Посредственно) = 1140 / 9880 ≈ 0.115
- P(Ответил отлично | Плохо) = 120 / 9880 ≈ 0.0121
Теперь мы можем использовать формулу Байеса для нахождения апостериорных вероятностей:
Формула Байеса выглядит следующим образом:
P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Где P(B) - это полная вероятность ответа отлично:
- P(Ответил отлично) = P(Ответил отлично | Отлично) * P(Отлично) + P(Ответил отлично | Хорошо) * P(Хорошо) + P(Ответил отлично | Посредственно) * P(Посредственно) + P(Ответил отлично | Плохо) * P(Плохо)
Теперь подставим наши значения:
- P(Ответил отлично) = 1 * 0.3 + 0.5 * 0.4 + 0.115 * 0.2 + 0.0121 * 0.1
- P(Ответил отлично) = 0.3 + 0.2 + 0.023 + 0.00121 ≈ 0.52421
Теперь можем найти апостериорные вероятности:
- Вероятность, что студент был отлично подготовлен:
P(Отлично | Ответил отлично) = (1 * 0.3) / 0.52421 ≈ 0.572
- Вероятность, что студент был хорошо подготовлен:
P(Хорошо | Ответил отлично) = (0.5 * 0.4) / 0.52421 ≈ 0.382
- Вероятность, что студент был посредственно подготовлен:
P(Посредственно | Ответил отлично) = (0.115 * 0.2) / 0.52421 ≈ 0.044
- Вероятность, что студент был плохо подготовлен:
P(Плохо | Ответил отлично) = (0.0121 * 0.1) / 0.52421 ≈ 0.0023
Таким образом, мы нашли апостериорные вероятности для каждого уровня подготовки студента, который ответил на три вопроса отлично.