Из урны, содержащей 5 шаров с номерами 1, 1, 2, 2 и 3, берут с возвращением два шара. Найдите математическое ожидание суммы номеров на вынутых шарах.
Вопрос 1: Введите математическое ожидание суммы номеров на вынутых шарах.
Вопрос 2: Введите математическое ожидание суммы номеров на вынутых шарах возведенную в квадрат.

Другие предметы Колледж Математическое ожидание теория вероятностей математическая статистика колледж математическое ожидание сумма номеров шары с номерами задача с возвращением вероятностные расчеты статистические методы математическое ожидание в квадрате Новый

Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Определим вероятности и значения.

У нас есть урна с 5 шарами: 1, 1, 2, 2 и 3. Мы будем вытаскивать два шара с возвращением. Значит, каждый раз, когда мы вытаскиваем шар, мы имеем одинаковую вероятность вытянуть любой из 5 шаров.

Шаг 2: Найдем все возможные исходы.

Возможные пары, которые мы можем вытянуть, будут следующими:

• (1, 1)
• (1, 2)
• (1, 3)
• (2, 1)
• (2, 2)
• (2, 3)
• (3, 1)
• (3, 2)
• (3, 3)

Теперь давайте посчитаем сумму номеров для каждой пары:

• (1, 2): 1 + 2 = 3
• (1, 3): 1 + 3 = 4
• (2, 1): 2 + 1 = 3
• (2, 2): 2 + 2 = 4
• (2, 3): 2 + 3 = 5
• (3, 1): 3 + 1 = 4
• (3, 2): 3 + 2 = 5
• (3, 3): 3 + 3 = 6

Шаг 3: Найдем вероятности каждой суммы.

Теперь нам нужно определить, сколько раз каждая сумма появляется:

• Сумма 2: 1 раз (пара (1, 1))
• Сумма 3: 2 раза (пары (1, 2) и (2, 1))
• Сумма 4: 3 раза (пары (1, 3), (2, 2) и (3, 1))
• Сумма 5: 2 раза (пары (2, 3) и (3, 2))
• Сумма 6: 1 раз (пара (3, 3))

Шаг 4: Вычислим математическое ожидание суммы.

Обозначим сумму как X. Математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:

E(X) = Σ (x * P(x)), где x - сумма, а P(x) - вероятность этой суммы.

Общее количество исходов: 5 * 5 = 25 (так как мы вытаскиваем с возвращением).

Теперь считаем:

• E(X) = (2 * 1/25) + (3 * 2/25) + (4 * 3/25) + (5 * 2/25) + (6 * 1/25)
• E(X) = (2/25) + (6/25) + (12/25) + (10/25) + (6/25)
• E(X) = (2 + 6 + 12 + 10 + 6) / 25
• E(X) = 36 / 25
• E(X) = 1.44

Ответ на Вопрос 1: Математическое ожидание суммы номеров на вынутых шарах равно 1.44.

Шаг 5: Найдем математическое ожидание суммы номеров, возведенную в квадрат.

Теперь нам нужно найти E(X^2). Мы будем использовать аналогичный подход:

E(X^2) = Σ (x^2 * P(x)).

Теперь посчитаем x^2 для каждой суммы:

• Сумма 2: 2^2 = 4
• Сумма 3: 3^2 = 9
• Сумма 4: 4^2 = 16
• Сумма 5: 5^2 = 25
• Сумма 6: 6^2 = 36

Теперь подставим в формулу:

• E(X^2) = (4 * 1/25) + (9 * 2/25) + (16 * 3/25) + (25 * 2/25) + (36 * 1/25)
• E(X^2) = (4/25) + (18/25) + (48/25) + (50/25) + (36/25)
• E(X^2) = (4 + 18 + 48 + 50 + 36) / 25
• E(X^2) = 156 / 25
• E(X^2) = 6.24

Ответ на Вопрос 2: Математическое ожидание суммы номеров на вынутых шарах, возведенное в квадрат, равно 6.24.