Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей. Главные оси и главные осевые моменты инерции (вывод формул для определения положения и величин главных осевых моментов инерции).

Другие предметы Колледж Моменты инерции плоских фигур изменение моментов инерции плоская фигура поворот осей главные оси осевые моменты инерции формулы определения величины моментов инерции Новый

Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей – это важная тема в сопротивлении материалов, так как она помогает понять, как распределение массы влияет на механические свойства конструкции. Давайте разберем это по шагам.

1. Определение момента инерции

Момент инерции (I) плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс, определяется как сумма произведений массы каждого элемента фигуры на квадрат расстояния от этого элемента до оси вращения:

I = ∫ r² dm

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

2. Поворот осей

Если мы поворачиваем оси координат на угол θ, то новый момент инерции относительно новой оси можно найти с помощью теоремы о параллельных осях:

I' = I + A * d²

где:

• A – площадь фигуры;
• d – расстояние между старой и новой осями.

3. Главные оси инерции

Главные оси инерции – это такие оси, относительно которых моменты инерции достигают максимальных и минимальных значений. Для их нахождения нужно решить уравнение:

Ixx - Iyy + 2Ixy * tan(2θ) = 0

где Ixx, Iyy и Ixy – моменты инерции относительно осей x и y и их совместный момент инерции соответственно.

4. Вывод формул для главных осевых моментов инерции

Для нахождения моментов инерции относительно главных осей, мы можем использовать следующие шаги:

1. Сначала вычисляем моменты инерции Ixx, Iyy и Ixy для данной фигуры.
2. Затем решаем уравнение, указанное выше, для нахождения угла θ, при котором достигаются главные моменты инерции.
3. После нахождения угла θ, подставляем его обратно в формулы для Ixx и Iyy для получения главных осевых моментов инерции:
4. J1 = (Ixx + Iyy)/2 + sqrt(((Ixx - Iyy)/2)² + Ixy²)
5. J2 = (Ixx + Iyy)/2 - sqrt(((Ixx - Iyy)/2)² + Ixy²)

Где J1 и J2 – главные моменты инерции. Эти значения показывают, как фигура будет реагировать на нагрузки, приложенные вдоль главных осей.

Таким образом, мы рассмотрели, как моменты инерции изменяются при повороте осей и как находить главные оси инерции. Это знание полезно для проектирования конструкций, чтобы обеспечить их устойчивость и надежность.