Потенциальная энергия механической системы с одной степенью свободы в малой окрестности положения равновесия может быть представлена в виде разложения в ряд Тейлора. Для этого нам нужно учесть, что в положении равновесия производная потенциальной энергии по координате равна нулю, так как силы, действующие на систему, компенсируются. Поэтому потенциальную энергию можно разложить в ряд Тейлора до квадратичного члена. Рассмотрим шаги, как это делается:

1. Начальное условие: Пусть q=0 — это положение равновесия системы. В этой точке потенциальная энергия имеет минимум, и производная потенциальной энергии по координате q равна нулю.
2. Разложение в ряд Тейлора: Разложим потенциальную энергию U(q) в ряд Тейлора вблизи точки q=0. Это разложение будет иметь вид:
   • U(q) ≈ U(0) + (dU/dq)|_q=0 * q + 1/2 * (d²U/dq²)|_q=0 * q²
3. Учет равновесия: Поскольку в положении равновесия силы компенсируются, первый производный член (dU/dq)|_q=0 равен нулю.
4. Итоговое выражение: Таким образом, в малой окрестности положения равновесия потенциал можно приблизительно выразить как:
   • U(q) ≈ U(0) + 1/2 * (d²U/dq²)|_q=0 * q²

Таким образом, в малой окрестности положения равновесия потенциальная энергия системы с одной степенью свободы приближенно выражается квадратичным членом, где коэффициент перед q² определяет жесткость системы в этой точке. Это выражение характерно для гармонических осцилляторов, где потенциальная энергия имеет параболическую форму.