Для решения уравнения свободных колебаний линейной консервативной системы, которое записывается в виде:

aq" + cq = 0

где:

• a - коэффициент, связанный с массой системы;
• c - коэффициент, связанный с жесткостью системы;
• q - переменная, представляющая собой отклонение от равновесия;
• q" - вторая производная переменной q по времени, то есть ускорение.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти общее решение этого уравнения, следуем следующим шагам:

1. Запишем характеристическое уравнение. Для уравнения aq" + cq = 0 мы можем предположить решение в виде экспоненциальной функции: q(t) = e^(rt),где r - корень характеристического уравнения. Подставляя это в уравнение, получаем:
2. Получаем характеристическое уравнение: a * r^2 + c = 0.
3. Решаем характеристическое уравнение: r^2 = -c/a. Это означает, что r = ±i * sqrt(c/a),где i - мнимая единица.
4. Записываем общее решение: Поскольку корни характеристического уравнения комплексные, общее решение будет иметь вид:
5. q(t) = C1 * cos(sqrt(c/a) * t) + C2 * sin(sqrt(c/a) * t),где C1 и C2 - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, функция, которая описывает решение уравнения свободных колебаний линейной консервативной системы, представляет собой комбинацию синуса и косинуса, что указывает на гармонические колебания.