Какие из следующих равенств справедливы для всех множеств A, B и C

• (A B) C = A (B C)
• (A B) ∪ (A C) = A (B ∩ C)
• (A B) ∪ (A C) = A (B ∪ C)
• A ∩ (B C) = (A ∩ B) C
  

Другие предметы Колледж Алгебра множеств дискретная математика Множества равенства колледж логика теорія множеств операции над множествами объединение пересечение свойства множеств Новый

Давайте разберем каждое из предложенных равенств и выясним, какие из них справедливы для всех множеств A, B и C. Для этого мы будем использовать основные свойства операций над множествами, такие как объединение (∪), пересечение (∩) и разность (\).

1. (A \ B) \ C = A \ (B \ C)

   Это равенство не является тождеством для всех множеств. Рассмотрим пример: пусть A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {3}. Тогда:

   • (A \ B) \ C = ({1, 2, 3} \ {2, 3}) \ {3} = {1} \ {3} = {1}
   • A \ (B \ C) = {1, 2, 3} \ ({2, 3} \ {3}) = {1, 2, 3} \ {2} = {1, 3}

   Значения не совпадают, следовательно, равенство неверно.

2. (A \ B) ∪ (A \ C) = A \ (B ∩ C)

   Это равенство также не является тождеством для всех множеств. Рассмотрим пример: пусть A = {1, 2, 3}, B = {2}, C = {3}. Тогда:

   • (A \ B) ∪ (A \ C) = ({1, 2, 3} \ {2}) ∪ ({1, 2, 3} \ {3}) = {1, 3} ∪ {1, 2} = {1, 2, 3}
   • A \ (B ∩ C) = {1, 2, 3} \ ({2} ∩ {3}) = {1, 2, 3} \ {} = {1, 2, 3}

   В данном случае значения совпадают, но это не всегда так, поэтому равенство неверно в общем случае.

3. (A \ B) ∪ (A \ C) = A \ (B ∪ C)

   Это равенство также не является тождеством для всех множеств. Рассмотрим пример: пусть A = {1, 2, 3}, B = {2}, C = {3}. Тогда:

   • (A \ B) ∪ (A \ C) = ({1, 2, 3} \ {2}) ∪ ({1, 2, 3} \ {3}) = {1, 3} ∪ {1, 2} = {1, 2, 3}
   • A \ (B ∪ C) = {1, 2, 3} \ ({2} ∪ {3}) = {1, 2, 3} \ {2, 3} = {1}

   Значения не совпадают, следовательно, равенство неверно.

4. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C

   Это равенство справедливо для всех множеств. Давайте проверим:

   • Левая часть: A ∩ (B \ C) означает, что мы сначала находим разность B и C, а затем пересекаем результат с A.
   • Правая часть: (A ∩ B) \ C означает, что мы сначала пересекаем A и B, а затем вычитаем из результата множество C.

   Для всех элементов x, x будет принадлежать A ∩ (B \ C) тогда и только тогда, когда x принадлежит A, x принадлежит B, и x не принадлежит C. Аналогично, x будет принадлежать (A ∩ B) \ C тогда и только тогда, когда x принадлежит A, x принадлежит B, и x не принадлежит C. Таким образом, равенство верно.

Таким образом, только четвертое равенство A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C является справедливым для любых множеств A, B и C.