Уравнение Бернулли имеет вид:

dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n

где n - некоторое число, отличное от 0 и 1. Для решения уравнения Бернулли используется специальная подстановка. Давайте рассмотрим шаги решения этого уравнения с помощью подстановки:

1. Подготовка к подстановке: Исходное уравнение имеет вид dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n. Обратите внимание, что это уравнение является нелинейным из-за члена y^n.
2. Выбор подстановки: Для упрощения уравнения вводим новую переменную. Пусть z = y^(1-n). Это позволяет нам избавиться от нелинейности в уравнении.
3. Нахождение производной: Нам нужно выразить dy/dx через dz/dx. Производная z по x будет:
• z = y^(1-n) => y = z^(1/(1-n))
• dy/dx = (dz/dx) * (1/(1-n)) * z^(-n/(1-n))
• Преобразуем dy/dx в терминах z и dz/dx.
4. Подстановка в уравнение: Подставляем выражения для y и dy/dx в исходное уравнение. Уравнение преобразуется в:
• (dz/dx) * (1/(1-n)) * z^(-n/(1-n)) + P(x)z^(1/(1-n)) = Q(x)z^(n/(1-n))
5. Упрощение уравнения: Упрощаем уравнение, чтобы оно стало линейным относительно z. В результате получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно z.
6. Решение линейного уравнения: Решаем полученное линейное уравнение стандартными методами, такими как метод интегрирующего множителя или метод разделения переменных.
7. Обратная подстановка: После нахождения решения для z, возвращаемся к исходной переменной y, используя обратную подстановку y = z^(1/(1-n)).

Таким образом, с помощью подстановки z = y^(1-n) мы преобразуем нелинейное уравнение Бернулли в линейное, что позволяет его решить стандартными методами.