Классическим примером использования динамического программирования является задача о рюкзаке. Давайте разберем, что это за задача и как мы можем её решить с помощью динамического программирования.

Задача о рюкзаке формулируется следующим образом:

• У нас есть рюкзак, который может выдержать определенный вес (максимальная емкость).
• Есть набор предметов, каждый из которых имеет определенный вес и стоимость.
• Наша цель — выбрать предметы таким образом, чтобы максимизировать общую стоимость предметов, не превышая при этом вес рюкзака.

Теперь давайте рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить для решения этой задачи с использованием динамического программирования:

1. Определение параметров:
   • Пусть n — количество предметов.
   • Пусть W — максимальный вес, который может выдержать рюкзак.
   • Пусть weights[i] — вес i-го предмета.
   • Пусть values[i] — стоимость i-го предмета.
2. Создание таблицы:
   • Создадим двумерный массив dp размером (n+1) x (W+1), где dp[i][w] будет представлять максимальную стоимость, которую можно получить, используя первые i предметов и вес не более w.
3. Инициализация:
   • Заполним первую строку и первый столбец нулями, так как если нет предметов или вес рюкзака равен нулю, то стоимость будет равна нулю.
4. Заполнение таблицы:
   • Пройдем по всем предметам (i от 1 до n) и по всем возможным весам (w от 0 до W).
   • Если вес i-го предмета больше w, то мы не можем его взять, и поэтому dp[i][w] = dp[i-1][w].
   • Если вес i-го предмета меньше или равен w, то мы можем выбрать: либо взять этот предмет, либо не брать его. Поэтому:
     • dp[i][w] = max(dp[i-1][w], values[i-1] + dp[i-1][w - weights[i-1]]).
5. Результат:
   • После заполнения таблицы, максимальная стоимость будет находиться в dp[n][W].

Таким образом, задача о рюкзаке является классическим примером применения динамического программирования, позволяя эффективно находить оптимальные решения для задач с ограничениями.