Классическим примером использования динамического программирования является задача о рюкзаке.

Давайте рассмотрим, что это за задача и как мы можем к ней подойти с точки зрения динамического программирования.

Задача о рюкзаке заключается в следующем:

• У вас есть рюкзак, который может вместить ограниченное количество веса (максимальная емкость).
• Есть набор предметов, каждый из которых имеет свою стоимость и вес.
• Цель состоит в том, чтобы выбрать такие предметы, чтобы максимизировать общую стоимость, не превышая при этом вес рюкзака.

Для решения этой задачи с помощью динамического программирования мы можем следовать следующим шагам:

1. Определение подзадач: Мы будем использовать массив, где каждый элемент будет представлять максимальную стоимость для определенного веса рюкзака.
2. Инициализация: Инициализируем массив, где все значения равны нулю, так как при нулевом весе стоимость также равна нулю.
3. Заполнение массива: Для каждого предмета и для каждого возможного веса рюкзака мы будем проверять, можем ли мы включить предмет в рюкзак. Если можем, то обновляем стоимость:
• Если вес предмета меньше или равен текущему весу рюкзака, мы сравниваем стоимость, получаемую с этим предметом и без него, и выбираем максимальную.
• Если предмет слишком тяжелый, мы просто оставляем стоимость без изменений.
4. Получение результата: После заполнения массива мы получаем максимальную стоимость, которая может быть помещена в рюкзак, в последнем элементе массива.

Таким образом, задача о рюкзаке является ярким примером применения динамического программирования для оптимизации выбора предметов с учетом ограничений.